Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 245

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики целых рациональных функций степени выше второй:

y=x^3+1.

Построение

Идея

Область определения и множество значений функции совпадают со всей
числовой прямой.

1
Идея. Исходный график $y=x^3$ проходит через начало координат. Прибавление
единицы ко всем значениям функции переносит этот график на одну единицу
вверх. Поэтому точка $(0,0)$ переходит в $(0,1)$ , а ноль новой функции
находится из уравнения $x^3+1=0,\qquad x=-1$ Точка $(-1,0)$ является единственным пересечением с осью $Ox$ , а
$(0,1)$ — пересечением с осью $Oy$ и центром симметрии графика.
Функция строго возрастает на всей числовой прямой: если $x_1<x_2$ , то
$x_1^3<x_2^3$ , следовательно, $x_1^3+1<x_2^3+1$ .
2
Для построения отметим несколько точек. $таблица к задаче Демидовича № 245$
3
Построение графика
Отмечаем найденные точки. Через них проводим плавную
возрастающую кубическую кривую. При $x\to-\infty$ имеем
$y\to-\infty$ , а при $x\to+\infty$ имеем $y\to+\infty$ . $график к задаче Демидовича № 245$

Проверка

График имеет ту же форму, что и

y=x^3

, и отличается от него только
вертикальным переносом на одну единицу вверх.