Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 245

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики целых рациональных функций степени выше второй:

Задача 245

y=x3+1.y=x^3+1.

Построение

Область определения и множество значений функции совпадают со всей
числовой прямой.

Исходный график y=x3y=x^3 проходит через начало координат. Прибавление
единицы ко всем значениям функции переносит этот график на одну единицу
вверх. Поэтому точка (0,0)(0,0) переходит в (0,1)(0,1), а ноль новой функции
находится из уравненияx3+1=0,x=−1x^3+1=0,
\qquad x=-1Точка (−1,0)(-1,0) является единственным пересечением с осью OxOx, а
(0,1)(0,1) — пересечением с осью OyOy и центром симметрии графика.
Функция строго возрастает на всей числовой прямой: если x1<x2x_1<x_2, то
x13<x23x_1^3<x_2^3, следовательно, x13+1<x23+1x_1^3+1<x_2^3+1.
Для построения отметим несколько точек.таблица к задаче Демидовича № 245

Построение графика

Отмечаем найденные точки. Через них проводим плавную
возрастающую кубическую кривую. При x→−∞x\to-\infty имеем
y→−∞y\to-\infty, а при x→+∞x\to+\infty имеем y→+∞y\to+\infty.график к задаче Демидовича № 245

График имеет ту же форму, что и y=x3y=x^3, и отличается от него только
вертикальным переносом на одну единицу вверх.
Демидович № 245 — решение | Высшая математика — Профиматика