Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 277

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить график радикала

y=\sqrt[m]{x^k}

, если:

\text{а) }m=2,k=1\quad\text{б) }m=2,k=3\quad\text{в) }m=3,k=1

\text{г) }m=3,k=2\quad\text{д) }m=3,k=4\quad\text{е) }m=4,k=2\quad\text{ж) }m=4,k=3

ПостроениеГрафики и таблица приведены в построении.

Построение

При упрощении выражения необходимо сначала учитывать область определения
исходного радикала. В частности, сокращение дроби

\frac{k}{m}

не должно менять
условия, при которых корень имеет действительное значение.

Случаи с областью определения

x\geqslant0

Если степень корня

m

чётная, подкоренное выражение должно быть
неотрицательным. Поэтому в случаях а), б) и ж) получаем

\begin{aligned}\text{а)}\quad y&=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}&D&=[0,+\infty)\\\text{б)}\quad y&=\sqrt{x^3}=x\sqrt{x}=x^{\frac{3}{2}}&D&=[0,+\infty)\\\text{ж)}\quad y&=\sqrt[4]{x^3}=x^{\frac{3}{4}}&D&=[0,+\infty)\end{aligned}

Все три функции возрастают, проходят через

(0,0)

(1,1)

. Функция

x^{\frac{3}{2}}

имеет в нуле горизонтальную касательную, а функции

x^{\frac{1}{2}}

x^{\frac{3}{4}}

— вертикальную. При

0<x<1

x^{\frac{3}{2}}<x^{\frac{3}{4}}<x^{\frac{1}{2}}

а при

x>1

порядок меняется на противоположный.

Строим три кривые в первой четверти по их взаимному
расположению на промежутках

(0,1)

(1,+\infty)

Нечётный график.

В случае в) имеем

y=\sqrt[3]{x}\qquadD=\mathbb R

Эта функция нечётная, строго возрастает на всей числовой прямой и имеет
вертикальную касательную в начале координат. график к задаче Демидовича № 277

Чётные графики с областью определения

\mathbb R

.

В оставшихся случаях подкоренные выражения неотрицательны при любом
действительном

x

. Получаем

\begin{aligned}\text{г)}\quad y&=\sqrt[3]{x^2}=|x|^{\frac{2}{3}}&D&=\mathbb R\\\text{д)}\quad y&=\sqrt[3]{x^4}=|x|^{\frac{4}{3}}&D&=\mathbb R\\\text{е)}\quad y&=\sqrt[4]{x^2}=\sqrt{|x|}=|x|^{\frac{1}{2}}&D&=\mathbb R\end{aligned}

Все три функции чётные и неотрицательные. Они убывают на

(-\infty,0)

,
возрастают на

(0,+\infty)

и имеют минимум

0

при

x=0

. У функций

|x|^{\frac{2}{3}}

|x|^{\frac{1}{2}}

в начале координат получается остриё с
вертикальной касательной, а у функции

|x|^{\frac{4}{3}}

касательная горизонтальна.

При

0<|x|<1

выполняется

|x|^{\frac{4}{3}}<|x|^{\frac{2}{3}}<|x|^{\frac{1}{2}}

а при

|x|>1

порядок становится противоположным.

Строим правые половины трёх графиков, затем отражаем их
относительно оси

Oy

Таблица значений и областей определения для семи случаев: таблица к задаче Демидовича № 277