Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 277

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 277

Построить график радикала

y=\sqrt[m]{x^k}

, если:

\text{а) }m=2,k=1\quad\text{б) }m=2,k=3\quad\text{в) }m=3,k=1

\text{г) }m=3,k=2\quad\text{д) }m=3,k=4\quad\text{е) }m=4,k=2\quad\text{ж) }m=4,k=3

Построение\img{4}

Построение

Идея

При упрощении выражения необходимо сначала учитывать область определения
исходного радикала. В частности, сокращение дроби

k/m

не должно менять
условия, при которых корень имеет действительное значение.

1
Случаи с областью определения $x\geqslant0$ .
2
Если степень корня $m$ чётная, подкоренное выражение должно быть
неотрицательным. Поэтому в случаях а), б) и ж) получаем $\begin{aligned}\text{а)}\quad y&=\sqrt{x}=x^{1/2}&D&=[0,+\infty)\\\text{б)}\quad y&=\sqrt{x^3}=x\sqrt{x}=x^{3/2}&D&=[0,+\infty)\\\text{ж)}\quad y&=\sqrt[4]{x^3}=x^{3/4}&D&=[0,+\infty)\end{aligned}$ Все три функции возрастают, проходят через $(0,0)$ и $(1,1)$ . Функция
$x^{3/2}$ имеет в нуле горизонтальную касательную, а функции $x^{1/2}$ и
$x^{3/4}$ — вертикальную. При $0<x<1$ $x^{3/2}<x^{3/4}<x^{1/2}$ а при $x>1$ порядок меняется на противоположный.
3
Построение графика
Строим три кривые в первой четверти по их взаимному
расположению на промежутках $(0,1)$ и $(1,+\infty)$ . $график к задаче Демидовича № 277$

Нечётный график.

В случае в) имеем $y=\sqrt[3]{x}\qquadD=\mathbb R$ Эта функция нечётная, строго возрастает на всей числовой прямой и имеет
вертикальную касательную в начале координат. $график к задаче Демидовича № 277$

Чётные графики с областью определения $\mathbb R$ .

В оставшихся случаях подкоренные выражения неотрицательны при любом
действительном $x$ . Получаем $\begin{aligned}\text{г)}\quad y&=\sqrt[3]{x^2}=|x|^{2/3}&D&=\mathbb R\\\text{д)}\quad y&=\sqrt[3]{x^4}=|x|^{4/3}&D&=\mathbb R\\\text{е)}\quad y&=\sqrt[4]{x^2}=\sqrt{|x|}=|x|^{1/2}&D&=\mathbb R\end{aligned}$ Все три функции чётные и неотрицательные. Они убывают на $(-\infty,0)$ ,
возрастают на $(0,+\infty)$ и имеют минимум $0$ при $x=0$ . У функций
$|x|^{2/3}$ и $|x|^{1/2}$ в начале координат получается остриё с
вертикальной касательной, а у функции $|x|^{4/3}$ касательная горизонтальна.

При $0<|x|<1$ выполняется $|x|^{4/3}<|x|^{2/3}<|x|^{1/2}$ а при $|x|>1$ порядок становится противоположным.
4
Построение графика
Строим правые половины трёх графиков, затем отражаем их
относительно оси $Oy$ . $график к задаче Демидовича № 277$
5
Ответ
$таблица к задаче Демидовича № 277$