Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 247

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики целых рациональных функций степени выше второй:

y=x^2-x^4.

Построение

Представим выражение как постоянное число минус квадрат.

Функция определена на всей числовой прямой и чётна, поэтому достаточно построить её при

x\geq0

, затем отразить график относительно оси

Oy

f(x)=x^2(1-x^2)=\frac14-\left(x^2-\frac12\right)^2.

Первая запись даёт нули

-1,0,1

и знаки:

f(x)>0

при

0<|x|<1

f(x)<0

при

|x|>1

. Около нуля график остаётся над осью, а около

\pm1

меняет сторону относительно неё.

Во второй записи квадрат неотрицателен, поэтому

f(x)\leq\frac{1}{4}

. Равенство достигается ровно при

x=\pm\frac{1}{\sqrt2}

. На правой полуоси величина

x^2

возрастает от нуля: до

x=\frac{1}{\sqrt2}

расстояние от

x^2

до

\frac{1}{2}

уменьшается, а после этой точки увеличивается. Поэтому

f

возрастает на

[0,\frac{1}{\sqrt2}]

и убывает на

[\frac{1}{\sqrt2},+\infty)

. Чётность даёт убывание на

[-\frac{1}{\sqrt2},0]

и возрастание на

(-\infty,-\frac{1}{\sqrt2}]

.

Обе крайние ветви уходят вниз. Множество значений равно

(-\infty,\frac{1}{4}]

: для любого

y\leq\frac{1}{4}

можно взять

x=\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}-y}}

. Отмечаем нули и две вершины

(\pm\frac{1}{\sqrt2},\frac{1}{4})

, строим правую половину и отражаем её. график к задаче Демидовича № 247