Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 247

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики целых рациональных функций степени выше второй:

Задача 247

y=x^2-x^4.

Построение

Идея

Функция определена при всех действительных

x

и является чётной:

f(-x)=(-x)^2-(-x)^4=x^2-x^4=f(x)

Поэтому её график симметричен относительно оси

Oy

1
Разложим выражение на множители: $y=x^2(1-x^2)=x^2(1-x)(1+x)$ Отсюда нули равны $x=-1$ , $x=0$ и $x=1$ . Корень $x=0$ имеет
кратность два: в начале координат график касается оси $Ox$ . Корни
$x=-1$ и $x=1$ простые, поэтому в этих точках график пересекает ось.
Знак функции определяется множителем $1-x^2$ : $\begin{aligned}y&>0 &&\text{при }0<|x|<1,\\y&<0 &&\text{при }|x|>1\end{aligned}$ Идея. Для нахождения вершин двух симметричных дуг вычислим производную: $y'=2x-4x^3=2x(1-2x^2)$ Критические точки: $x=-\dfrac1{\sqrt2},\qquad x=0,\qquad x=\dfrac1{\sqrt2}$ При $x=\pm\dfrac1{\sqrt2}$ функция достигает наибольшего значения $y=\left(\dfrac1{\sqrt2}\right)^2-\left(\dfrac1{\sqrt2}\right)^4=\dfrac12-\dfrac14=\dfrac14$ В точке $x=0$ имеется локальный минимум $y=0$ . Поскольку при
$|x|\to\infty$ старший член $-x^4$ стремится к $-\infty$ , множество
значений функции равно $\left(-\infty,\dfrac14\right]$ .
2
Функция возрастает на
$\left(-\infty,-\dfrac1{\sqrt2}\right)$ и
$\left(0,\dfrac1{\sqrt2}\right)$ , а убывает на
$\left(-\dfrac1{\sqrt2},0\right)$ и
$\left(\dfrac1{\sqrt2},+\infty\right)$ .
3
Построение графика
Строим правую половину графика по нулям, максимуму
и промежуткам изменения, затем отражаем её относительно оси $Oy$ . $график к задаче Демидовича № 247$