Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 261

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики дробных рациональных функций:

y=\frac1{1+x}-\frac2{x^2}+\frac1{1-x}

Построение

Идея

Функция определена при

x\ne-1

x\ne0

x\ne1

. Упростим её:

\begin{aligned}y&=\frac2{1-x^2}-\frac2{x^2}=\\&=\frac{2(2x^2-1)}{x^2(1-x^2)}\end{aligned}

Функция чётная, поэтому достаточно исследовать её при

x>0

. Нули равны

x=-\frac1{\sqrt2}\qquadx=\frac1{\sqrt2}

Вертикальные асимптоты имеют уравнения

x=-1

x=0

x=1

, а
горизонтальная асимптота —

y=0

1
Идея. Производная функции равна $y'=\frac{4(2x^4-2x^2+1)}{x^3(1-x^2)^2}$ При этом $2x^4-2x^2+1=2\left(x^2-\frac12\right)^2+\frac12>0$ Следовательно, $y'<0$ при $x<0$ и $y'>0$ при $x>0$ . Функция убывает на
каждом промежутке области определения слева от нуля и возрастает на
каждом промежутке справа от нуля.

На интервалах $(-1,0)$ и $(0,1)$ функция изменяется от одного
бесконечного предела до другого и пересекает ось $Ox$ в найденных точках.
Поэтому множество значений совпадает со всей числовой прямой.
2
Построение графика
Проводим асимптоты $x=-1$ , $x=0$ , $x=1$ и $y=0$ .
Строим правые ветви по монотонности и двум предельным значениям, затем
отражаем их относительно оси $Oy$ . $график к задаче Демидовича № 261$