Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 261

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики дробных рациональных функций:

Задача 261

y=11+x−2x2+11−xy=\frac1{1+x}-\frac2{x^2}+\frac1{1-x}

Построение

Функция определена при x≠−1x\ne-1, x≠0x\ne0 и x≠1x\ne1. Упростим её:y=\displaystyle y\mathrel{=}21−x2−2x2=\displaystyle \frac2{1-x^2}-\frac2{x^2}\mathrel{=}2(2x2−1)x2(1−x2)\displaystyle \frac{2(2x^2-1)}{x^2(1-x^2)}Функция чётная, поэтому достаточно исследовать её при x>0x>0. Нули равныx=−12x=12x=-\frac1{\sqrt2}
\qquad
x=\frac1{\sqrt2}Вертикальные асимптоты имеют уравнения x=−1x=-1, x=0x=0, x=1x=1, а
горизонтальная асимптота — y=0y=0.

При x>0x>0 функция 2(1−x2)\frac{2}{(1-x^2)} возрастает на каждом из промежутков (0,1)(0,1) и (1,+∞)(1,+\infty): это следует из построения №258. Второе слагаемое −2x2-\frac{2}{x^2} также строго возрастает на положительной полуоси. Поэтому сумма возрастает на каждом из этих промежутков. Чётность даёт убывание на (−∞,−1)(-\infty,-1) и (−1,0)(-1,0).

На (0,1)(0,1) около нуля преобладает отрицательное слагаемое −2x2-\frac{2}{x^2}, а около единицы — положительное слагаемое 2(1−x2)\frac{2}{(1-x^2)}. Эта ветвь проходит снизу вверх через ноль 12\frac{1}{\sqrt2}. При x>1x>1 оба слагаемых отрицательны; ветвь поднимается от неограниченно больших по модулю отрицательных значений к нулю. Левые ветви получаются отражением.

Построение графика

Проводим асимптоты x=−1x=-1, x=0x=0, x=1x=1 и y=0y=0.
Строим правые ветви по монотонности и двум предельным значениям, затем
отражаем их относительно оси OyOy.график к задаче Демидовича № 261
Демидович № 261 — решение | Высшая математика — Профиматика