Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 240

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 240

Температурный коэффициент линейного расширения железа
α=1,2⋅10−6 ∘C−1\alpha=1{,}2\cdot10^{-6}\ {}^\circ\mathrm{C}^{-1}. Построить в подходящем
масштабе график функцииl=f(T)(−40 ∘C≤T≤100 ∘C)l=f(T)
\qquad
(-40\,{}^\circ\mathrm{C}\le T\le100\,{}^\circ\mathrm{C})где TT — температура и ll — длина железного стержня при
температуре TT, если l=100l=100 см при T=0 ∘CT=0\,{}^\circ\mathrm{C}.
Ответ:l(T)=100+0,00012T,−40 ∘C≤T≤100 ∘C\boxed{
l(T)=100+0{,}00012T,
\qquad
-40\,{}^\circ\mathrm{C}\le T\le100\,{}^\circ\mathrm{C}
}

Решение

Идея

При линейном тепловом расширении длина стержня определяется формулойl(T)=l0(1+α(T−T0))l(T)=l_0\bigl(1+\alpha(T-T_0)\bigr)По условию T0=0T_0=0 и l0=100l_0=100 см, поэтомуl(T)=100(1+1,2⋅10−6T)==100+0,00012T\begin{aligned}
l(T)&=100\left(1+1{,}2\cdot10^{-6}T\right)=\\
&=100+0{,}00012T
\end{aligned}
  1. 1
    Область определения в этой задаче ограничена условием:−40 ∘C≤T≤100 ∘C-40\,{}^\circ\mathrm{C}\le T\le100\,{}^\circ\mathrm{C}
  2. 2
    Найдём длину на концах промежутка и при опорной температуре:l(−40)=100−0,00012⋅40=99,9952 смl(0)=100 смl(100)=100+0,00012⋅100=100,012 см\begin{aligned}
    l(-40)&=100-0{,}00012\cdot40=99{,}9952\ \text{см}\\
    l(0)&=100\ \text{см}\\
    l(100)&=100+0{,}00012\cdot100=100{,}012\ \text{см}
    \end{aligned}
  3. 3

    Построение графика

    График является отрезком возрастающей прямой.
    Изменение длины очень мало по сравнению со 100100 см, поэтому вертикальную
    ось показываем в увеличенном масштабе и начинаем её не с нуля. Такой
    масштаб позволяет увидеть наклон, но не меняет вычисленных значений.график к задаче Демидовича № 240

Проверка

Ответ.l(T)=100+0,00012T,−40 ∘C≤T≤100 ∘C\boxed{
l(T)=100+0{,}00012T,
\qquad
-40\,{}^\circ\mathrm{C}\le T\le100\,{}^\circ\mathrm{C}
}
Демидович № 240 — решение и ответ