Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 276

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 276

Построить график радикала y=xmy=\sqrt[m]{x} при:а) m=2,4б) m=3,5\text{а) }m=2,4
\qquad
\text{б) }m=3,5
ПостроениеПри чётном mm график расположен в первой четверти; при нечётном
mm он определён на всей числовой прямой и симметричен относительно начала
координат.

Построение

Идея

Функция y=xmy=\sqrt[m]{x} является обратной к функции y=xmy=x^m: при нечётном
mm — на всей числовой прямой, а при чётном mm — после ограничения
степенной функции на промежуток x⩾0x\geqslant0. Поэтому график радикала можно
получить отражением соответствующего графика или его ветви относительно прямой
y=xy=x.
  1. 1

    Пункт а)

    Чётные показатели корня m=2,4m=2,4.

    Корень чётной степени существует в действительных числах только при x⩾0x\geqslant0,
    причём y⩾0y\geqslant0. Следовательно,D=[0,+∞)E=[0,+∞)D=[0,+\infty)
    \qquad
    E=[0,+\infty)    Обе функции возрастают и проходят через точки (0,0)(0,0) и (1,1)(1,1). При
    0<x<10<x<1 имеемx<x4\sqrt{x}<\sqrt[4]{x}а при x>1x>1x>x4\sqrt{x}>\sqrt[4]{x}В начале координат обе кривые имеют вертикальную касательную.
  2. 2

    Построение графика

    Строим графики в первой четверти, отмечая общие точки
    (0,0)(0,0) и (1,1)(1,1) и учитывая смену порядка кривых при переходе через x=1x=1.график к задаче Демидовича № 276
  3. 3

    Пункт б)

    Нечётные показатели корня m=3,5m=3,5.

    Корень нечётной степени определён при любом действительном xx и может
    принимать любые действительные значения. Обе функции нечётные, строго
    возрастают и проходят через точки(−1,−1),(0,0),(1,1)(-1,-1),\qquad (0,0),\qquad (1,1)При 0<x<10<x<1 выполняетсяx3<x5\sqrt[3]{x}<\sqrt[5]{x}а при x>1x>1x3>x5\sqrt[3]{x}>\sqrt[5]{x}Отрицательные части графиков получаются поворотом положительных частей на
    180∘180^\circ вокруг начала координат. В точке (0,0)(0,0) обе кривые имеют
    вертикальную касательную.
  4. 4

    Построение графика

    Строим положительные части двух возрастающих кривых,
    после чего используем симметрию относительно начала координат.график к задаче Демидовича № 276

Проверка

Ответ. При чётном mm график расположен в первой четверти; при нечётном
mm он определён на всей числовой прямой и симметричен относительно начала
координат.
Демидович № 276 — решение и ответ