Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 281

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 281

Построить графики функций:

\text{а) }y=\ln(-x);\qquad\text{б) }y=-\ln x

Построение

1
Пункт а)
Для функции $y=\ln(-x)$ аргумент логарифма должен быть
положительным: $-x>0\quad\Longleftrightarrow\quadx<0$ Следовательно, $D_a=(-\infty,0)$ Идея. Замена $x$ на $-x$ отражает график $y=\ln x$ относительно оси
$Oy$ . Поэтому график $y=\ln(-x)$ расположен в левой полуплоскости.
Он проходит через точки $(-e,1),\qquad(-1,0),\qquad\left(-\dfrac1e,-1\right)$ При $x<0$ производная равна $y'=\dfrac1x<0$ поэтому функция убывает. Её предельное поведение имеет вид $\lim_{x\to-\infty}\ln(-x)=+\infty,\qquad\lim_{x\to0-}\ln(-x)=-\infty$ Прямая $x=0$ является вертикальной асимптотой, а множество значений
равно $\mathbb R$ .
2
Пункт б)
Для функции $y=-\ln x$ сохраняется область определения
натурального логарифма: $D_b=(0,+\infty)$ Умножение значений функции $y=\ln x$ на $-1$ отражает её график
относительно оси $Ox$ . Получаем опорные точки $\left(\dfrac1e,1\right),\qquad(1,0),\qquad(e,-1)$ Так как $y'=-\dfrac1x<0$ функция строго убывает. Кроме того, $\lim_{x\to0+}(-\ln x)=+\infty,\qquad\lim_{x\to+\infty}(-\ln x)=-\infty$ Здесь $x=0$ также является вертикальной асимптотой и $E_b=\mathbb R$ .

Графики двух функций центрально симметричны относительно начала
координат: при преобразовании $(x,y)\mapsto(-x,-y)$ один из них
переходит в другой.
3
Построение графика
В левой полуплоскости строим отражение графика $y=\ln x$ относительно
оси $Oy$ , а в правой — его отражение относительно оси $Ox$ . Обе
ветви убывают и приближаются к прямой $x=0$ с противоположных сторон. $график к задаче Демидовича № 281$