Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции
Демидович — задача 281
Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.
Задача 281
Построить графики функций:
Построение
Пункт а)
Для функции аргумент логарифма должен бытьположительным:Следовательно,Замена на отражает график относительно оси
. Поэтому график расположен в левой полуплоскости.
Он проходит через точкиПри увеличении отрицательного положительное число уменьшается. Логарифм сохраняет порядок аргументов, поэтому функция убывает. При движении влево число растёт и его логарифм неограниченно увеличивается. При приближении к нулю слева положительное число уменьшается до нуля, и логарифм неограниченно убывает.
Прямая является вертикальной асимптотой, а множество значений
равно .
Пункт б)
Для функции сохраняется область определениянатурального логарифма:Умножение значений функции на отражает её график
относительно оси . Получаем опорные точкиНатуральный логарифм строго возрастает; смена знака всех его значений меняет направление, поэтому строго убывает.
При приближении к нулю справа логарифм неограниченно убывает, поэтому неограниченно растёт. При движении вправо происходит обратное.
Здесь также является вертикальной асимптотой и .
Графики двух функций центрально симметричны относительно начала
координат: при преобразовании один из них
переходит в другой.
Построение графика
В левой полуплоскости строим отражение графика относительнооси , а в правой — его отражение относительно оси . Обе
ветви убывают и приближаются к прямой с противоположных сторон.
