Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 246

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики целых рациональных функций степени выше второй:

y=(1-x^2)(2+x).

Построение

Сначала разложим выражение на множители:

f(x)=(1-x)(1+x)(2+x).

Область определения — вся числовая прямая. Нули равны

-2,-1,1

, а

f(0)=2

. Знаки множителей дают

f(x)>0

на

(-\infty,-2)\cup(-1,1)

f(x)<0

на

(-2,-1)\cup(1,+\infty)

Чтобы уточнить повороты кривой, перенесём начало отсчёта: положим

t=x+\frac{2}{3}

. Раскрытие скобок даёт

f(x)=\frac{20}{27}+\frac73t-t^3.

Обозначим

r=\frac{\sqrt7}{3}

, так что

\frac{7}{3}=3r^2

. Для

t_1<t_2

разность значений кубического выражения равна

(t_2-t_1)\bigl(3r^2-t_1^2-t_1t_2-t_2^2\bigr).

Если

-r\leq t_1<t_2\leq r

, каждое из трёх слагаемых

t_1^2,t_1t_2,t_2^2

не превосходит

r^2

, причём одновременно равенства невозможны. Разность положительна. Если обе точки лежат справа от

r

или слева от

-r

, сумма этих трёх слагаемых больше

3r^2

, и разность отрицательна.

Поэтому функция убывает до

x_1=\frac{(-2-\sqrt7)}{3}

, возрастает от

x_1

до

x_2=\frac{(-2+\sqrt7)}{3}

и затем снова убывает. Подстановка даёт точки поворота:

\left(\frac{-2-\sqrt7}{3},\frac{20-14\sqrt7}{27}\right),\qquad\left(\frac{-2+\sqrt7}{3},\frac{20+14\sqrt7}{27}\right).

Их приближённые координаты равны

(-1{,}549,-0{,}631)

(0{,}215,2{,}113)

. Слева крайняя ветвь уходит вверх, справа — вниз, что также видно из трёх множителей исходного выражения. Отмечаем нули, точку

(0,2)

и найденные точки поворота, затем проводим кривую с установленными знаками и направлением изменения. график к задаче Демидовича № 246