Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 246

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики целых рациональных функций степени выше второй:

Задача 246

y=(1−x2)(2+x).y=(1-x^2)(2+x).

Построение

Идея

Функция определена при всех действительных xx. Разложение на множителиy=(1−x)(1+x)(2+x)y=(1-x)(1+x)(2+x)сразу даёт три нуля:x=−2,x=−1,x=1x=-2,
\qquad x=-1,
\qquad x=1Все корни имеют нечётную кратность, поэтому в каждой из трёх точек график
пересекает ось OxOx. При x=0x=0 получаем y=2y=2, то есть график пересекает
ось OyOy в точке (0,2)(0,2).
  1. 1
    Определим знак функции по знакам множителей:y>0при x∈(−∞,−2)∪(−1,1),y<0при x∈(−2,−1)∪(1,+∞)\begin{aligned}
    y&>0 &&\text{при }x\in(-\infty,-2)\cup(-1,1),\\
    y&<0 &&\text{при }x\in(-2,-1)\cup(1,+\infty)
    \end{aligned}    Идея. Для уточнения формы графика найдём точки экстремума. Раскрываем
    скобки и вычисляем производную:y=−x3−2x2+x+2,y′=−3x2−4x+1y=-x^3-2x^2+x+2,
    \qquad
    y'=-3x^2-4x+1    Критические точки определяются уравнением−3x2−4x+1=03x2+4x−1=0x=−2±73\begin{aligned}
    -3x^2-4x+1&=0\\
    3x^2+4x-1&=0\\
    x&=\dfrac{-2\pm\sqrt7}{3}
    \end{aligned}    Обозначимx1=−2−73≈−1,549,x2=−2+73≈0,215x_1=\dfrac{-2-\sqrt7}{3}\approx-1{,}549,
    \qquad
    x_2=\dfrac{-2+\sqrt7}{3}\approx0{,}215    Поскольку квадратный трёхчлен y′y' отрицателен вне промежутка
    (x1,x2)(x_1,x_2) и положителен внутри него, функция убывает на
    (−∞,x1)(-\infty,x_1), возрастает на (x1,x2)(x_1,x_2) и снова убывает на
    (x2,+∞)(x_2,+\infty). Следовательно, при x1x_1 достигается локальный минимум,
    а при x2x_2 — локальный максимум. Их ординаты равныy(x1)=20−14727≈−0,631,y(x2)=20+14727≈2,113y(x_1)=\dfrac{20-14\sqrt7}{27}\approx-0{,}631,
    \qquad
    y(x_2)=\dfrac{20+14\sqrt7}{27}\approx2{,}113    Наконец, старший член равен −x3-x^3, поэтомуx→−∞⇒y→+∞,x→+∞⇒y→−∞x\to-\infty\Rightarrow y\to+\infty,
    \qquad
    x\to+\infty\Rightarrow y\to-\infty
  2. 2

    Построение графика

    Отмечаем три нуля, точку (0,2)(0,2) и найденные точки
    локального минимума и максимума. Проводим кривую с учётом знаков,
    промежутков изменения и поведения на бесконечности.график к задаче Демидовича № 246
Демидович № 246 — решение