Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 269

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики иррациональных функций:

Задача 269

y=±x2−1y=\pm\sqrt{x^2-1}(гипербола).

Построение

Идея

Подкоренное выражение неотрицательно, еслиx2−1≥0⟺x≤−1илиx≥1x^2-1\ge0
\quad\Longleftrightarrow\quad
x\le-1
\quad\text{или}\quad
x\ge1ПоэтомуD=(−∞,−1]∪[1,+∞)D=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)
  1. 1
    Идея. После возведения в квадрат получаем каноническое уравнение
    гиперболы:x2−y2=1x^2-y^2=1Кривая имеет центр в начале координат, вершины (−1,0)(-1,0) и (1,0)(1,0) и
    симметрична относительно обеих координатных осей. Пересечения с осью
    OyOy нет.

    Асимптотами являются прямые y=xy=x и y=−xy=-x. Например, при
    ∣x∣→∞|x|\to\inftyx2−1−∣x∣=−1x2−1+∣x∣⟶0\sqrt{x^2-1}-|x|
    =-\dfrac1{\sqrt{x^2-1}+|x|}
    \longrightarrow0    Здесь ∣x∣=x|x|=x при x→+∞x\to+\infty и ∣x∣=−x|x|=-x при x→−∞x\to-\infty.
    Поэтому верхние части гиперболы приближаются соответственно к прямым
    y=xy=x и y=−xy=-x, а нижние части получаются отражением относительно
    оси OxOx.
    Для построения отметим вершины и точки(±2,±1),(±5,±2)(\pm\sqrt2,\pm1),
    \qquad
    (\pm\sqrt5,\pm2)    Знаки перед обеими координатами здесь выбираются независимо. Для
    каждого y∈Ry\in\mathbb R существуют значенияx=±y2+1x=\pm\sqrt{y^2+1}поэтому множество значений всей кривой равно R\mathbb R.
  2. 2

    Построение графика

    Сначала проводим две пунктирные асимптоты, затем
    отмечаем вершины и симметричные опорные точки. Строим четыре части
    гиперболы, объединённые в две ветви, и доводим их до границ окна.график к задаче Демидовича № 269
Демидович № 269 — решение