Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 255

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики дробных рациональных функций:

y=x+\dfrac1{x^2}

Построение

Функция определена при

x\ne0

. Разность

f(x)-x=\frac{1}{x^2}

положительна и сколь угодно мала при достаточно больших

|x|

. Значит, график лежит выше прямой

y=x

и приближается к ней. Около нуля с обеих сторон член

\frac{1}{x^2}

становится неограниченно большим, поэтому обе ветви уходят вверх.

Уравнение

f(x)=0

равносильно

x^3+1=0

, откуда

x=-1

. Функция отрицательна при

x<-1

и положительна при

x>-1

, кроме исключённой точки

0

.

Слева от нуля при увеличении

x

увеличиваются и

x

, и

\frac{1}{x^2}

, поэтому левая ветвь строго возрастает. Для правой ветви положим

c=\sqrt[3]2

и возьмём

0<x_1<x_2

f(x_2)-f(x_1)=(x_2-x_1)\left(1-\frac{x_1+x_2}{x_1^2x_2^2}\right).

Здесь

\frac{(x_1+x_2)}{(x_1^2x_2^2)}=\frac{1}{(x_1x_2^2)}+\frac{1}{(x_1^2x_2)}

. При

x_2\leq c

эта сумма больше

\frac{2}{c^3}=1

, поэтому разность отрицательна. При

x_1\geq c

сумма меньше

1

, и разность положительна. Правая ветвь убывает до

c

, затем возрастает. В нижней точке

f(c)=\sqrt[3]2+\frac1{\sqrt[3]4}=\frac3{\sqrt[3]4}.

Проводим вспомогательную прямую

y=x

, отмечаем

(-1,0)

(\sqrt[3]2,\frac{3}{\sqrt[3]4})

, затем строим две ветви с найденным направлением изменения. график к задаче Демидовича № 255