Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 255

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики дробных рациональных функций:

y=x+\dfrac1{x^2}

Построение

Идея

Функция определена при

x\ne0

. Поскольку

\dfrac1{x^2}>0

,
при приближении к нулю с любой стороны имеем

x\to0-\Rightarrow y\to+\infty,\qquadx\to0+\Rightarrow y\to+\infty

Следовательно,

x=0

является вертикальной асимптотой. Кроме того,

y-x=\dfrac1{x^2}\to0\qquad\text{при}\qquad |x|\to\infty

поэтому

y=x

— наклонная асимптота.

1
Ноль функции находится из уравнения $x+\dfrac1{x^2}=0\quad\Longleftrightarrow\quadx^3+1=0\quad\Longleftrightarrow\quadx=-1$ Так как знаменатель $x^2$ положителен, функция отрицательна при
$x<-1$ и положительна при $x>-1$ , $x\ne0$ .

Идея. Найдём производную: $y'=1-\dfrac2{x^3}=\dfrac{x^3-2}{x^3}$ На всём промежутке $(-\infty,0)$ функция возрастает. На
$\left(0,\sqrt[3]{2}\right)$ она убывает, а на
$(\sqrt[3]{2},+\infty)$ возрастает. Поэтому правая ветвь имеет
локальный минимум в точке $\left(\sqrt[3]{2},\dfrac3{\sqrt[3]{4}}\right)$ Левая ветвь возрастает от $-\infty$ до $+\infty$ , поэтому множество
значений всей функции равно $\mathbb R$ .
2
Построение графика
Проводим наклонную асимптоту $y=x$ . Левую ветвь
строим через точку $(-1,0)$ , а правую — через найденную точку
минимума. Обе ветви уходят вверх при приближении к $x=0$ . $график к задаче Демидовича № 255$