Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 274

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить график степенной функции y=xny=x^n при:

Задача 274

а) n=1,3,5б) n=2,4,6\text{а) }n=1,3,5
\qquad
\text{б) }n=2,4,6
ПостроениеПри нечётном nn график симметричен относительно начала
координат и строго возрастает; при чётном nn он симметричен относительно
оси OyOy и имеет минимум в начале координат.

Построение

Пункт а)

Во всех рассматриваемых случаях показатель nn является натуральным числом,
поэтому область определения функции y=xny=x^n совпадает со всей числовой
прямой.

Нечётные показатели n=1,3,5n=1,3,5.
При нечётном nn выполняетсяf(−x)=(−x)n=−xn=−f(x)f(-x)=(-x)^n=-x^n=-f(x)Следовательно, функция нечётная, а её график симметричен относительно начала
координат. Все три графика проходят через точки(−1,−1),(0,0),(1,1)(-1,-1),\qquad (0,0),\qquad (1,1)Если 0≤x1<x20\leq x_1<x_2, то x1n<x2nx_1^n<x_2^n: при положительном x1x_1 это следует из (x2x1)n>1(\frac{x_2}{x_1})^n>1, а при x1=0x_1=0 — из положительности x2nx_2^n. Для двух отрицательных аргументов используем нечётность и сравнение их модулей. При аргументах по разные стороны от нуля порядок следует из знаков. Таким образом, все три функции строго возрастают на всей числовой прямой.

При 0<x<10<x<1 повышение степени уменьшает значение функции:x5<x3<xx^5<x^3<xПри x>1x>1 порядок меняется:x<x3<x5x<x^3<x^5На отрицательной полуоси взаимное расположение кривых получается из
симметрии относительно начала координат.

Построение графика

Отмечаем три общие точки и строим три возрастающие
кривые с учётом найденного порядка.график к задаче Демидовича № 274

Пункт б)

Чётные показатели n=2,4,6n=2,4,6.
При чётном nn имеемf(−x)=(−x)n=xn=f(x)f(-x)=(-x)^n=x^n=f(x)поэтому функция чётная, а её график симметричен относительно оси OyOy.
Все значения функции неотрицательны, и все три графика проходят через точки(−1,1),(0,0),(1,1)(-1,1),\qquad (0,0),\qquad (1,1)На положительной полуоси при увеличении xx увеличивается произведение nn одинаковых положительных множителей. Поэтому функция строго возрастает на [0,+∞)[0,+\infty). Чётность даёт убывание на (−∞,0](-\infty,0], а из xn≥0x^n\geq0 следует, что наименьшее значение равно нулю и достигается при x=0x=0.

При 0<∣x∣<10<|x|<1 выполняетсяx6<x4<x2x^6<x^4<x^2а при ∣x∣>1|x|>1x2<x4<x6x^2<x^4<x^6

Построение графика

Строим правые половины графиков по найденному порядку,
после чего отражаем их относительно оси OyOy.график к задаче Демидовича № 274
Демидович № 274 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика