Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 274

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить график степенной функции y=xny=x^n при:

Задача 274

а) n=1,3,5б) n=2,4,6\text{а) }n=1,3,5
\qquad
\text{б) }n=2,4,6
ПостроениеПри нечётном nn график симметричен относительно начала
координат и строго возрастает; при чётном nn он симметричен относительно
оси OyOy и имеет минимум в начале координат.

Построение

Идея

Во всех рассматриваемых случаях показатель nn является натуральным числом,
поэтому область определения функции y=xny=x^n совпадает со всей числовой
прямой.
  1. 1

    Пункт а)

    Нечётные показатели n=1,3,5n=1,3,5.
  2. 2
    При нечётном nn выполняетсяf(−x)=(−x)n=−xn=−f(x)f(-x)=(-x)^n=-x^n=-f(x)Следовательно, функция нечётная, а её график симметричен относительно начала
    координат. Все три графика проходят через точки(−1,−1),(0,0),(1,1)(-1,-1),\qquad (0,0),\qquad (1,1)Производная имеет видy′=nxn−1y'=nx^{n-1}При n=1n=1 имеем y′=1>0y'=1>0. При n=3,5n=3,5 производная положительна для всех
    x≠0x\ne0 и обращается в нуль только при x=0x=0. Следовательно, функции
    не убывают и не могут быть постоянными ни на одном промежутке, поэтому
    xx, x3x^3 и x5x^5 строго возрастают на всей числовой прямой. У функций
    x3x^3 и x5x^5 производная в нуле равна нулю, поэтому в начале координат
    график имеет горизонтальную касательную.

    При 0<x<10<x<1 повышение степени уменьшает значение функции:x5<x3<xx^5<x^3<xПри x>1x>1 порядок меняется:x<x3<x5x<x^3<x^5На отрицательной полуоси взаимное расположение кривых получается из
    симметрии относительно начала координат.
  3. 3

    Построение графика

    Отмечаем три общие точки и строим три возрастающие
    кривые с учётом найденного порядка.график к задаче Демидовича № 274
  4. 4

    Пункт б)

    Чётные показатели n=2,4,6n=2,4,6.
  5. 5
    При чётном nn имеемf(−x)=(−x)n=xn=f(x)f(-x)=(-x)^n=x^n=f(x)поэтому функция чётная, а её график симметричен относительно оси OyOy.
    Все значения функции неотрицательны, и все три графика проходят через точки(−1,1),(0,0),(1,1)(-1,1),\qquad (0,0),\qquad (1,1)Производная y′=nxn−1y'=nx^{n-1} отрицательна при x<0x<0 и положительна при x>0x>0.
    Следовательно, каждая функция убывает на (−∞,0)(-\infty,0), возрастает на
    (0,+∞)(0,+\infty) и имеет наименьшее значение 00 при x=0x=0.

    При 0<∣x∣<10<|x|<1 выполняетсяx6<x4<x2x^6<x^4<x^2а при ∣x∣>1|x|>1x2<x4<x6x^2<x^4<x^6
  6. 6

    Построение графика

    Строим правые половины графиков по найденному порядку,
    после чего отражаем их относительно оси OyOy.график к задаче Демидовича № 274

Проверка

Ответ. При нечётном nn график симметричен относительно начала
координат и строго возрастает; при чётном nn он симметричен относительно
оси OyOy и имеет минимум в начале координат.
Демидович № 274 — решение и ответ