Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 270

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики иррациональных функций:

Задача 270

y=±1−x1+xy=\pm\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}

Построение

Идея

Необходимо, чтобы дробь под корнем была неотрицательной и её
знаменатель не обращался в нуль:1−x1+x≥0,x≠−1\dfrac{1-x}{1+x}\ge0,
\qquad
x\ne-1Критические значения равны −1-1 и 11. Проверка знака дроби на
полученных промежутках даётD=(−1,1]D=(-1,1]Точка x=−1x=-1 не входит в область определения, а точка x=1x=1 входит.
  1. 1
    Идея. Обе ветви удовлетворяют уравнениюy2=1−x1+xy^2=\dfrac{1-x}{1+x}Решим его относительно xx:y2(1+x)=1−x⟺x=1−y21+y2y^2(1+x)=1-x
    \quad\Longleftrightarrow\quad
    x=\dfrac{1-y^2}{1+y^2}    Эта запись показывает, что вся кривая симметрична относительно оси
    OxOx, проходит через (1,0)(1,0) и при ∣y∣→∞|y|\to\infty приближается к
    прямой x=−1x=-1.

    Рассматривая xx как функцию переменной yy, получаемdxdy=−4y(1+y2)2\dfrac{dx}{dy}=-\dfrac{4y}{(1+y^2)^2}При y=0y=0 эта производная равна нулю. Следовательно, в точке (1,0)(1,0)
    обе ветви соединяются гладко и имеют вертикальную касательную x=1x=1.
  2. 2
    Для верхней ветви при −1<x<1-1<x<1y′=−1(1+x)21−x1+x<0y'=-\dfrac1{(1+x)^2\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}<0Поэтому она убывает от +∞+\infty до 00. Нижняя ветвь является её
    отражением относительно оси OxOx и возрастает от −∞-\infty до 00.
    Опорные точки имеют координаты(−35,±2),(0,±1),(35,±12),(1,0)\left(-\dfrac35,\pm2\right),
    \qquad
    (0,\pm1),
    \qquad
    \left(\dfrac35,\pm\dfrac12\right),
    \qquad
    (1,0)    Вместе две ветви принимают все действительные значения, поэтому
    E=RE=\mathbb R.
  3. 3

    Построение графика

    Проводим вертикальную асимптоту x=−1x=-1, отмечаем
    опорные точки и строим две симметричные ветви. Слева они уходят за
    верхнюю и нижнюю границы рисунка, а справа соединяются в точке (1,0)(1,0).график к задаче Демидовича № 270
Демидович № 270 — решение