Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 263

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить эскиз графика функции

y=\frac{ax^2+bx+c}{a_1x+b_1}\qquad(a_1\ne0)

приведя её к виду

y=kx+m+\frac{n}{x-x_0}

Рассмотреть пример

y=\frac{x^2-4x+3}{x+1}

Решение

Идея

Знаменатель обращается в нуль при

x_0=-\frac{b_1}{a_1}

Выполнив деление многочленов, получаем

\frac{ax^2+bx+c}{a_1x+b_1}=kx+m+\frac{n}{x-x_0}

где

\begin{aligned}k&=\frac{a}{a_1}\\m&=\frac{ba_1-ab_1}{a_1^2}\\n&=\frac{ca_1^2-ba_1b_1+ab_1^2}{a_1^3}\end{aligned}

Если

n\ne0

, то

x=x_0

является вертикальной асимптотой, а

y=kx+m

— линейной асимптотой: при

k\ne0

она наклонная, а при

k=0

— горизонтальная. График получается из гиперболы

y=n/x

переносом и линейным наклоном. Если

n=0

, график совпадает с прямой

y=kx+m

, но точка

\bigl(x_0,kx_0+m\bigr)

выколота.

1
Рассмотрим заданный пример. Деление даёт $\begin{aligned}y&=\frac{x^2-4x+3}{x+1}=\\&=x-5+\frac8{x+1}\end{aligned}$ Следовательно, вертикальная асимптота имеет уравнение $x=-1$ , а
наклонная — $y=x-5$ . Нули функции находятся из разложения $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$ то есть $x=1$ и $x=3$ . Кроме того, $f(0)=-3$ .

Идея. Производная функции равна $y'=1-\frac8{(x+1)^2}$ Критические точки и значения функции в них: $\begin{aligned}x_1&=-1-2\sqrt2&f(x_1)&=-6-4\sqrt2\\x_2&=-1+2\sqrt2&f(x_2)&=-6+4\sqrt2\end{aligned}$ На левой ветви точка $x_1$ является точкой локального максимума, а на
правой ветви точка $x_2$ — точкой локального минимума.
2
Построение графика
Проводим асимптоты $x=-1$ и $y=x-5$ , отмечаем нули,
пересечение с осью $Oy$ и две точки экстремума. После этого строим две
ветви, приближающиеся к наклонной асимптоте при $|x|\to\infty$ . $график к задаче Демидовича № 263$