Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 263

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить эскиз графика функции

y=\frac{ax^2+bx+c}{a_1x+b_1}\qquad(a_1\ne0)

приведя её к виду

y=kx+m+\frac{n}{x-x_0}

Рассмотреть пример

y=\frac{x^2-4x+3}{x+1}

Решение

Знаменатель обращается в нуль при

x_0=-\frac{b_1}{a_1}

Выполнив деление многочленов, получаем

\frac{ax^2+bx+c}{a_1x+b_1}=kx+m+\frac{n}{x-x_0}

где

\begin{aligned}k&=\frac{a}{a_1}\\m&=\frac{ba_1-ab_1}{a_1^2}\\n&=\frac{ca_1^2-ba_1b_1+ab_1^2}{a_1^3}\end{aligned}

Если

n\ne0

, то

x=x_0

является вертикальной асимптотой, а

y=kx+m

— линейной асимптотой: при

k\ne0

она наклонная, а при

k=0

— горизонтальная. Для построения к каждой ординате гиперболы

y=\frac{n}{(x-x_0)}

прибавляем ординату прямой

y=kx+m

с той же абсциссой. Если

n=0

, график совпадает с прямой

y=kx+m

, но точка

\bigl(x_0,kx_0+m\bigr)

выколота.

Рассмотрим заданный пример. Деление даёт

\displaystyle y\mathrel{=}

Следовательно, вертикальная асимптота имеет уравнение

x=-1

, а
наклонная —

y=x-5

. Нули функции находятся из разложения

x^2-4x+3=(x-1)(x-3)

то есть

x=1

x=3

. Кроме того,

f(0)=3

.

Положим

u=\frac{(x+1)}{(2\sqrt2)}

. Тогда

f(x)=2\sqrt2\left(u+\frac1u\right)-6.

Значит, это график №253, растянутый по обеим осям в

2\sqrt2

раза и перенесённый влево на

1

, вниз на

6

. Все направления изменения сохраняются. Точки

(-1,-2)

(1,2)

исходного графика переходят соответственно в

(-1-2\sqrt2,-6-4\sqrt2),\qquad(-1+2\sqrt2,-6+4\sqrt2).

Первая является верхней точкой левой ветви, вторая — нижней точкой правой. Центр симметрии имеет координаты

(-1,-6)

Проводим асимптоты

x=-1

y=x-5

, отмечаем нули,
пересечение с осью

Oy

и две точки экстремума. После этого строим две
ветви, приближающиеся к наклонной асимптоте при

|x|\to\infty