Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 257

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики дробных рациональных функций:

y=\frac{2x}{1+x^2}

(серпантин Ньютона)

Построение

Идея

Область определения функции совпадает со всей числовой прямой, поскольку

1+x^2>0

при любом действительном

x

. Функция нечётная:

f(-x)=\frac{-2x}{1+x^2}=-f(x)

поэтому её график симметричен относительно начала координат. Единственный
ноль функции равен

x=0

1
При $x\to\pm\infty$ имеем $\frac{2x}{1+x^2}\longrightarrow0$ следовательно, прямая $y=0$ является горизонтальной асимптотой.

Идея. Для уточнения формы графика вычислим производную: $y'=\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}$ Она отрицательна при $|x|>1$ и положительна при $|x|<1$ . Поэтому функция
убывает на $(-\infty,-1)$ , возрастает на $(-1,1)$ и снова убывает на
$(1,+\infty)$ . В критических точках $f(-1)=-1\qquadf(1)=1$ Точка $(-1,-1)$ является точкой минимума, а $(1,1)$ — точкой максимума.
Отсюда множество значений функции равно $[-1,1]$ .
2
Построение графика
Отмечаем точки $(-1,-1)$ , $(0,0)$ и $(1,1)$ ,
учитываем симметрию относительно начала координат и приближение обеих
ветвей к оси $Ox$ . $график к задаче Демидовича № 257$