Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 257

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики дробных рациональных функций:

y=\frac{2x}{1+x^2}

(серпантин Ньютона)

Построение

На положительной полуоси сведём построение к функции из №253.

Область определения — вся числовая прямая. Функция нечётна, так как

f(-x)=-f(x)

, и имеет единственный ноль

x=0

.
Для

x>0

удобно записать

f(x)=\frac2{x+\frac{1}{x}}.

В №253 алгебраически установлено, что положительная функция

x+\frac{1}{x}

убывает до

x=1

и затем возрастает. При переходе к обратной величине направление меняется: наша функция возрастает на

(0,1]

и убывает на

[1,+\infty)

. Её наибольшее значение равно

f(1)=1

, а нечётность даёт наименьшее значение

f(-1)=-1

.

Границы можно проверить непосредственно:

1-f(x)=\frac{(x-1)^2}{1+x^2}\geq0,\qquad1+f(x)=\frac{(x+1)^2}{1+x^2}\geq0.

Каждое

y\in[-1,1]

достигается: для

y\ne0

уравнение

yx^2-2x+y=0

имеет дискриминант

4(1-y^2)\geq0

, а для

y=0

подходит

x=0

. Поэтому множество значений равно

[-1,1]

.

При

x\ne0

выполняется

|f(x)|\leq\frac{2}{|x|}

, так что обе крайние ветви приближаются к оси

Ox

. Строим правую часть через

(0,0)

(1,1)

; левую получаем центральной симметрией. Функция убывает на

(-\infty,-1]

, возрастает на

[-1,1]

и убывает на

[1,+\infty)