Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 256

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики дробных рациональных функций:

y=\dfrac1{1+x^2}

(кривая Аньези).

Построение

Рост положительного знаменателя означает убывание обратной величины.

Знаменатель

1+x^2

положителен при любом

x

. Функция определена на всей прямой и чётна, поэтому график симметричен относительно оси

Oy

.

При

x\geq0

величина

x^2

возрастает, вместе с ней возрастает положительный знаменатель

1+x^2

, а обратная величина убывает. Следовательно, функция убывает на

[0,+\infty)

и, по чётности, возрастает на

(-\infty,0]

. Наибольшее значение равно

f(0)=1

. Нулей нет. Любое

0<y\leq1

достигается при

x=\sqrt{\frac{1}{y}-1}

, поэтому множество значений равно

(0,1]

При больших

|x|

график приближается к оси

Ox

: из

|x|>\frac1{\sqrt{\varepsilon}}

следует

0<f(x)<\frac{1}{x^2}<\varepsilon

. Для построения отметим симметричные пары точек:

f(\pm\frac{1}{\sqrt3})=\frac{3}{4},\qquad f(\pm1)=\frac{1}{2},\qquad f(\pm2)=\frac{1}{5}.

От вершины

(0,1)

проводим правую убывающую ветвь через эти точки, затем отражаем её относительно оси

Oy

. Полученная кривая называется кривой Аньези. график к задаче Демидовича № 256