Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 256

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики дробных рациональных функций:

Задача 256

y=\dfrac1{1+x^2}

(кривая Аньези).

Построение

Идея

Знаменатель

1+x^2

положителен при любом действительном

x

, поэтому

D(f)=\mathbb R

Функция положительна и является чётной:

f(-x)=\dfrac1{1+(-x)^2}=\dfrac1{1+x^2}=f(x)

Следовательно, график симметричен относительно оси

Oy

1
При $x=0$ получаем $y=1$ . Нулей у функции нет, а при
$|x|\to\infty$ имеем $y\to0+$ . Поэтому прямая $y=0$ является
горизонтальной асимптотой.

Идея. Производная $y'=-\dfrac{2x}{(1+x^2)^2}$ положительна при $x<0$ и отрицательна при $x>0$ . Значит, функция
возрастает на $(-\infty,0)$ , убывает на $(0,+\infty)$ и достигает
наибольшего значения $1$ при $x=0$ . Множество значений равно $E(f)=(0,1]$
2
Для уточнения формы кривой найдём вторую производную: $y''=\dfrac{2(3x^2-1)}{(1+x^2)^3}$ Знаменатель второй производной положителен, а её знак определяется
числителем. Поэтому $y''>0\quad\text{при}\quad |x|>\dfrac1{\sqrt3},\qquady''<0\quad\text{при}\quad |x|<\dfrac1{\sqrt3}$ В точках $x=\pm\dfrac1{\sqrt3}$ знак второй производной меняется.
Следовательно, это точки перегиба с координатами $\left(-\dfrac1{\sqrt3},\dfrac34\right),\qquad\left(\dfrac1{\sqrt3},\dfrac34\right)$ Кроме того, $f(\pm1)=\dfrac12,\qquadf(\pm2)=\dfrac15$
3
Построение графика
Отмечаем вершину $(0,1)$ , симметричные пары точек
и точки перегиба. Затем проводим плавную симметричную кривую, которая
с обеих сторон приближается к оси $Ox$ , не пересекая её. $график к задаче Демидовича № 256$

Проверка

График функции называется кривой Аньези.