Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 243

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 243

Построить график квадратного трёхчлена

y=ax^2+bx+c,

приведя его к виду

y=y_0+a(x-x_0)^2.

Рассмотреть примеры:

\text{а) }y=8x-2x^2;\qquad\text{б) }y=x^2-3x+2;

\text{в) }y=-x^2+2x-1;\qquad\text{г) }y=\dfrac12x^2+x+1.

Построение

Идея

Пусть

a\ne0

. Выделим в квадратном трёхчлене полный квадрат:

ax^2+bx+c\mathrel{=}

Следовательно,

x_0=-\dfrac{b}{2a},\qquady_0=c-\dfrac{b^2}{4a},\qquady=y_0+a(x-x_0)^2

1
Идея. График квадратного трёхчлена получается из параболы $y=ax^2$
переносом на $x_0$ единиц вдоль оси $Ox$ и на $y_0$ единиц вдоль
оси $Oy$ . Точка $(x_0,y_0)$ является вершиной, а прямая $x=x_0$ —
осью симметрии. При $a>0$ ветви направлены вверх, при $a<0$ — вниз.
2
Рассмотрим все четыре примера отдельно.
3
Пункт а)
Функция $y=8x-2x^2$ .

Выделяем полный квадрат: $y\mathrel{=}$ Вершина параболы равна $(2,8)$ , ось симметрии имеет уравнение $x=2$ ,
а ветви направлены вниз. Найдём нули: $8x-2x^2=2x(4-x)=0,\qquad x=0\quad\text{или}\quad x=4$ Таким образом, парабола проходит через точки $(0,0)$ и $(4,0)$ , а её
множество значений равно $(-\infty,8]$ . Дополнительные симметричные
точки: $(1,6)$ и $(3,6)$ .
4
Построение графика
Сначала отмечаем вершину $(2,8)$ и проводим ось
симметрии $x=2$ . Затем отмечаем нули $(0,0)$ , $(4,0)$ и точки
$(1,6)$ , $(3,6)$ , после чего проводим параболу с ветвями вниз. $график к задаче Демидовича № 243$
5
Пункт б)
Функция $y=x^2-3x+2$ .
6
Преобразуем выражение: $y\mathrel{=}$ Вершина имеет координаты $\left(\dfrac32,-\dfrac14\right)$ , ось
симметрии задаётся уравнением $x=\dfrac32$ , ветви направлены вверх,
а множество значений равно $\left[-\dfrac14,+\infty\right)$ .
Разложение $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ показывает, что нули функции равны $1$ и $2$ . Кроме того,
$y(0)=y(3)=2$ , поэтому точки $(0,2)$ и $(3,2)$ симметричны
относительно оси параболы.
7
Построение графика
Отмечаем вершину, нули и пару симметричных точек,
после чего проводим параболу с ветвями вверх. $график к задаче Демидовича № 243$
8
Пункт в)
Функция $y=-x^2+2x-1$ .
9
Здесь полный квадрат выделяется особенно просто: $y=-(x^2-2x+1)=-(x-1)^2$ Вершина параболы находится в точке $(1,0)$ , ось симметрии имеет
уравнение $x=1$ , а ветви направлены вниз. Равенство $-(x-1)^2=0$ выполняется только при $x=1$ . Это корень кратности два, поэтому
парабола касается оси $Ox$ в вершине, но не пересекает её. Множество
значений равно $(-\infty,0]$ . Точки $(0,-1)$ и $(2,-1)$ ,
$(-1,-4)$ и $(3,-4)$ попарно симметричны.
10
Построение графика
Отмечаем точку касания $(1,0)$ и симметричные пары
точек. Через них проводим параболу с ветвями вниз. $график к задаче Демидовича № 243$
11
Пункт г)
Функция $y=\dfrac12x^2+x+1$ .
12
Преобразуем трёхчлен: $y\mathrel{=}$ Вершина равна $\left(-1,\dfrac12\right)$ , ось симметрии —
$x=-1$ , ветви направлены вверх, а множество значений равно
$\left[\dfrac12,+\infty\right)$ . Поскольку $\dfrac12(x+1)^2+\dfrac12>0$ при любом действительном $x$ , нулей нет. Точки $(-2,1)$ и $(0,1)$ ,
$(-3,\dfrac52)$ и $(1,\dfrac52)$ попарно симметричны.
13
Построение графика
Строим параболу по вершине и двум симметричным
парам точек. Весь график расположен выше оси $Ox$ . $график к задаче Демидовича № 243$

Проверка

Таким образом, во всех случаях выделение полного квадрата сразу даёт
вершину, ось симметрии и направление ветвей параболы.