Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 243

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 243

Построить график квадратного трёхчленаy=ax2+bx+c,y=ax^2+bx+c,приведя его к видуy=y0+a(x−x0)2.y=y_0+a(x-x_0)^2.Рассмотреть примеры:а) y=8x−2x2;б) y=x2−3x+2;\text{а) }y=8x-2x^2;
\qquad
\text{б) }y=x^2-3x+2;в) y=−x2+2x−1;г) y=12x2+x+1.\text{в) }y=-x^2+2x-1;
\qquad
\text{г) }y=\dfrac12x^2+x+1.

Построение

Пусть a≠0a\ne0. Выделим в квадратном трёхчлене полный квадрат:ax2+bx+c=\displaystyle ax^2+bx+c\mathrel{=}a(x2+bax)+c=\displaystyle a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x\right)+c\mathrel{=}a[(x+b2a)2−b24a2]+c=\displaystyle a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2
-\dfrac{b^2}{4a^2}\right]+c\mathrel{=}a(x+b2a)2+c−b24a\displaystyle a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2
+c-\dfrac{b^2}{4a}Следовательно,x0=−b2a,y0=c−b24a,y=y0+a(x−x0)2x_0=-\dfrac{b}{2a},
\qquad
y_0=c-\dfrac{b^2}{4a},
\qquad
y=y_0+a(x-x_0)^2График квадратного трёхчлена получается из параболы y=ax2y=ax^2
переносом на x0x_0 единиц вдоль оси OxOx и на y0y_0 единиц вдоль
оси OyOy. Точка (x0,y0)(x_0,y_0) является вершиной, а прямая x=x0x=x_0 —
осью симметрии. При a>0a>0 ветви направлены вверх, при a<0a<0 — вниз.
Рассмотрим все четыре примера отдельно.

Пункт а)

Функция y=8x−2x2y=8x-2x^2.

Выделяем полный квадрат:y=\displaystyle y\mathrel{=}−2(x2−4x)=\displaystyle -2(x^2-4x)\mathrel{=}−2((x−2)2−4)=\displaystyle -2\bigl((x-2)^2-4\bigr)\mathrel{=}8−2(x−2)2\displaystyle 8-2(x-2)^2Вершина параболы равна (2,8)(2,8), ось симметрии имеет уравнение x=2x=2,
а ветви направлены вниз. Найдём нули:8x−2x2=2x(4−x)=0,x=0илиx=48x-2x^2=2x(4-x)=0,
\qquad x=0\quad\text{или}\quad x=4Таким образом, парабола проходит через точки (0,0)(0,0) и (4,0)(4,0), а её
множество значений равно (−∞,8](-\infty,8]. Дополнительные симметричные
точки: (1,6)(1,6) и (3,6)(3,6).

Построение графика

Сначала отмечаем вершину (2,8)(2,8) и проводим ось
симметрии x=2x=2. Затем отмечаем нули (0,0)(0,0), (4,0)(4,0) и точки
(1,6)(1,6), (3,6)(3,6), после чего проводим параболу с ветвями вниз.график к задаче Демидовича № 243

Пункт б)

Функция y=x2−3x+2y=x^2-3x+2.
Преобразуем выражение:y=\displaystyle y\mathrel{=}x2−3x+94−94+2=\displaystyle x^2-3x+\dfrac94-\dfrac94+2\mathrel{=}(x−32)2−14\displaystyle \left(x-\dfrac32\right)^2-\dfrac14Вершина имеет координаты (32,−14)\left(\dfrac32,-\dfrac14\right), ось
симметрии задаётся уравнением x=32x=\dfrac32, ветви направлены вверх,
а множество значений равно [−14,+∞)\left[-\dfrac14,+\infty\right).
Разложениеx2−3x+2=(x−1)(x−2)x^2-3x+2=(x-1)(x-2)показывает, что нули функции равны 11 и 22. Кроме того,
y(0)=y(3)=2y(0)=y(3)=2, поэтому точки (0,2)(0,2) и (3,2)(3,2) симметричны
относительно оси параболы.

Построение графика

Отмечаем вершину, нули и пару симметричных точек,
после чего проводим параболу с ветвями вверх.график к задаче Демидовича № 243

Пункт в)

Функция y=−x2+2x−1y=-x^2+2x-1.
Здесь полный квадрат выделяется особенно просто:y=−(x2−2x+1)=−(x−1)2y=-(x^2-2x+1)=-(x-1)^2Вершина параболы находится в точке (1,0)(1,0), ось симметрии имеет
уравнение x=1x=1, а ветви направлены вниз. Равенство−(x−1)2=0-(x-1)^2=0выполняется только при x=1x=1. Это корень кратности два, поэтому
парабола касается оси OxOx в вершине, но не пересекает её. Множество
значений равно (−∞,0](-\infty,0]. Точки (0,−1)(0,-1) и (2,−1)(2,-1),
(−1,−4)(-1,-4) и (3,−4)(3,-4) попарно симметричны.

Построение графика

Отмечаем точку касания (1,0)(1,0) и симметричные пары
точек. Через них проводим параболу с ветвями вниз.график к задаче Демидовича № 243

Пункт г)

Функция y=12x2+x+1y=\dfrac12x^2+x+1.
Преобразуем трёхчлен:y=\displaystyle y\mathrel{=}12(x2+2x)+1=\displaystyle \dfrac12(x^2+2x)+1\mathrel{=}12((x+1)2−1)+1=\displaystyle \dfrac12\bigl((x+1)^2-1\bigr)+1\mathrel{=}12(x+1)2+12\displaystyle \dfrac12(x+1)^2+\dfrac12Вершина равна (−1,12)\left(-1,\dfrac12\right), ось симметрии —
x=−1x=-1, ветви направлены вверх, а множество значений равно
[12,+∞)\left[\dfrac12,+\infty\right). Поскольку12(x+1)2+12>0\dfrac12(x+1)^2+\dfrac12>0при любом действительном xx, нулей нет. Точки (−2,1)(-2,1) и (0,1)(0,1),
(−3,52)(-3,\dfrac52) и (1,52)(1,\dfrac52) попарно симметричны.

Построение графика

Строим параболу по вершине и двум симметричным
парам точек. Весь график расположен выше оси OxOx.график к задаче Демидовича № 243

Таким образом, во всех случаях выделение полного квадрата сразу даёт
вершину, ось симметрии и направление ветвей параболы.
Демидович № 243 — решение | Высшая математика — Профиматика