Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 271

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики иррациональных функций:

Задача 271

y=±x100−x2y=\pm x\sqrt{100-x^2}

Построение

Идея

Квадратный корень существует при100−x2≥0⟺−10≤x≤10100-x^2\ge0
\quad\Longleftrightarrow\quad
-10\le x\le10Следовательно,D=[−10,10]D=[-10,10]Функция f(x)=x100−x2f(x)=x\sqrt{100-x^2} нечётная, а вторая функция равна
−f(x)-f(x). Поэтому вся кривая симметрична относительно обеих
координатных осей.
  1. 1
    Обе функции обращаются в нуль приx=−10,x=0,x=10x=-10,
    \qquad
    x=0,
    \qquad
    x=10    Для исследования верхнего знака вычислим производную:f′(x)=100−2x2100−x2f'(x)=\dfrac{100-2x^2}{\sqrt{100-x^2}}Критические точки внутри области определения равныx=±52x=\pm5\sqrt2При этомf(−52)=−50,f(52)=50f(-5\sqrt2)=-50,
    \qquad
    f(5\sqrt2)=50    Функция ff убывает на (−10,−52)(-10,-5\sqrt2), возрастает на
    (−52,52)(-5\sqrt2,5\sqrt2) и снова убывает на (52,10)(5\sqrt2,10). График
    −f-f имеет отражённое расположение экстремумов. Поэтому множество
    значений обеих кривых равноE=[−50,50]E=[-50,50]Идея. В начале координат ветви пересекаются. Их касательные имеют
    угловые коэффициенты f′(0)=10f'(0)=10 и −f′(0)=−10-f'(0)=-10, то есть уравнения
    y=10xy=10x и y=−10xy=-10x. В точках (−10,0)(-10,0) и (10,0)(10,0) ветви замыкаются.
    На рисунке масштабы по осям различаются, поэтому видимый угол
    пересечения не используется для оценки угловых коэффициентов; их
    точные значения получены из производных.
  2. 2

    Построение графика

    Отмечаем три нуля и четыре точки с ординатами
    ±50\pm50. Через них проводим две кривые y=f(x)y=f(x) и y=−f(x)y=-f(x), получая
    две замкнутые петли, которые пересекаются в начале координат.график к задаче Демидовича № 271
Демидович № 271 — решение