Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 271

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики иррациональных функций:

Задача 271

y=±x100−x2y=\pm x\sqrt{100-x^2}

Построение

Квадратный корень существует при100−x2≥0⟺−10≤x≤10100-x^2\ge0
\quad\Longleftrightarrow\quad
-10\le x\le10Следовательно,D=[−10,10]D=[-10,10]Функция f(x)=x100−x2f(x)=x\sqrt{100-x^2} нечётная, а вторая функция равна
−f(x)-f(x). Поэтому вся кривая симметрична относительно обеих
координатных осей.

Нули обеих функций равны −10,0,10-10,0,10. Рассмотрим сначала f(x)=x100−x2f(x)=x\sqrt{100-x^2} при 0≤x≤100\leq x\leq10. Эта ветвь неотрицательна, поэтому сравнение её значений равносильно сравнению квадратов:f(x)2=x2(100−x2)=2500−(x2−50)2.f(x)^2=x^2(100-x^2)=2500-(x^2-50)^2.При движении xx от 00 до 525\sqrt2 величина x2x^2 приближается к 5050, квадрат (x2−50)2(x^2-50)^2 уменьшается, а f(x)f(x) возрастает. После 525\sqrt2 направление меняется. Наибольшее значение равно 5050 и достигается при x=52x=5\sqrt2.

Нечётность ff даёт на левой половине точку (−52,−50)(-5\sqrt2,-50): функция убывает на [−10,−52][-10,-5\sqrt2] и возрастает на [−52,0][-5\sqrt2,0]. Вторая функция −f-f получается отражением относительно оси OxOx. Вся кривая имеет четыре крайние по высоте точки (±52,±50)(\pm5\sqrt2,\pm50), а множество ординат равно [−50,50][-50,50]. Достижимость промежуточных ординат следует и из формулы x2=50−2500−y2x^2=50-\sqrt{2500-y^2} при 0≤∣y∣≤500\leq |y|\leq50, с выбором знака ветви.

В начале координат два графика пересекаются, а в точках (±10,0)(\pm10,0) соединяются. Получаются две петли, симметричные относительно обеих осей.

Построение графика

Отмечаем три нуля и четыре точки с ординатами
±50\pm50. Через них проводим две кривые y=f(x)y=f(x) и y=−f(x)y=-f(x), получая
две замкнутые петли, которые пересекаются в начале координат.график к задаче Демидовича № 271
Демидович № 271 — решение | Высшая математика — Профиматика