Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 272

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики иррациональных функций:

Задача 272

y=±xx10−xy=\pm x\sqrt{\dfrac{x}{10-x}}(циссоида).

Построение

Подкоренная дробь должна быть неотрицательной, а её знаменатель —
ненулевым:x10−x≥0,x≠10\dfrac{x}{10-x}\ge0,
\qquad
x\ne10Критические значения 00 и 1010 разбивают числовую прямую на три
промежутка. Проверка знаков даётD=[0,10)D=[0,10)После возведения в квадрат получаем уравнение всей кривой:y2=x2⋅x10−x=x310−xy^2=x^2\cdot\dfrac{x}{10-x}
=\dfrac{x^3}{10-x}Это циссоида. Она симметрична относительно оси OxOx, проходит через
начало координат и имеет вертикальную асимптоту x=10x=10, посколькуx→10−⟹y→±∞x\to10-
\quad\Longrightarrow\quad
y\to\pm\infty
На промежутке 0≤x<100\leq x<10 дробь x(10−x)=10(10−x)−1\frac{x}{(10-x)}=\frac{10}{(10-x)}-1 возрастает и неотрицательна. Поэтому возрастают её квадратный корень и произведение этого корня на xx. Верхняя ветвь строго возрастает от нуля, нижняя симметрична ей и убывает.

Около начала координат отношение ∣y∣x=x(10−x)\frac{|y|}{x}=\sqrt{\frac{x}{(10-x)}} мало: при 0<x<50<x<5 оно не превосходит x5\sqrt{\frac{x}{5}}. Значит, направления секущих из начала приближаются к горизонтальному, и общая касательная имеет уравнение y=0y=0.

Опорные точки:(0,0),(2,±1),(5,±5),(8,±16),(9,±27)(0,0),
\qquad
(2,\pm1),
\qquad
(5,\pm5),
\qquad
(8,\pm16),
\qquad
(9,\pm27)Вся кривая имеет множество значений E=RE=\mathbb R.

Построение графика

Проводим вертикальную асимптоту x=10x=10. Из
начала координат с общей горизонтальной касательной выводим две
симметричные ветви через опорные точки; около асимптоты они уходят за
границы рисунка.график к задаче Демидовича № 272
Демидович № 272 — решение | Высшая математика — Профиматика