Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 272

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики иррациональных функций:

Задача 272

y=±xx10−xy=\pm x\sqrt{\dfrac{x}{10-x}}(циссоида).

Построение

Идея

Подкоренная дробь должна быть неотрицательной, а её знаменатель —
ненулевым:x10−x≥0,x≠10\dfrac{x}{10-x}\ge0,
\qquad
x\ne10Критические значения 00 и 1010 разбивают числовую прямую на три
промежутка. Проверка знаков даётD=[0,10)D=[0,10)
  1. 1
    Идея. После возведения в квадрат получаем уравнение всей кривой:y2=x2⋅x10−x=x310−xy^2=x^2\cdot\dfrac{x}{10-x}
    =\dfrac{x^3}{10-x}    Это циссоида. Она симметрична относительно оси OxOx, проходит через
    начало координат и имеет вертикальную асимптоту x=10x=10, посколькуx→10−⟹y→±∞x\to10-
    \quad\Longrightarrow\quad
    y\to\pm\infty
  2. 2
    Для верхней ветви при 0<x<100<x<10 имеемy′=x(15−x)(10−x)3/2>0y'=\dfrac{\sqrt{x}(15-x)}{(10-x)^{3/2}}>0Поэтому верхняя ветвь возрастает от 00 до +∞+\infty, а нижняя,
    полученная отражением относительно оси OxOx, убывает от 00 до
    −∞-\infty. В начале координат обе ветви имеют общую касательную y=0y=0,
    так как их производные стремятся к нулю при x→0+x\to0+.

    Опорные точки:(0,0),(2,±1),(5,±5),(8,±16),(9,±27)(0,0),
    \qquad
    (2,\pm1),
    \qquad
    (5,\pm5),
    \qquad
    (8,\pm16),
    \qquad
    (9,\pm27)    Вся кривая имеет множество значений E=RE=\mathbb R.
  3. 3

    Построение графика

    Проводим вертикальную асимптоту x=10x=10. Из
    начала координат с общей горизонтальной касательной выводим две
    симметричные ветви через опорные точки; около асимптоты они уходят за
    границы рисунка.график к задаче Демидовича № 272
Демидович № 272 — решение