Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 262

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики дробных рациональных функций:

y=\frac{(x+1)(x-2)}{(x-1)(x+2)}

Построение

Функция определена при

x\ne-2

x\ne1

. Её нули равны

x=-1\qquadx=2

а при

x=0

получаем

y=1

.

Степени числителя и знаменателя равны, поэтому горизонтальная асимптота
имеет уравнение

y=1

. Действительно,

y=\frac{x^2-x-2}{x^2+x-2}=1-\frac{2x}{x^2+x-2}

Прямые

x=-2

x=1

являются вертикальными асимптотами. График
пересекает горизонтальную асимптоту в точке

(0,1)

.

Для определения направления изменения разложим выражение на простые дроби:

f(x)=1-\frac4{3(x+2)}-\frac2{3(x-1)}.

На каждом из трёх промежутков определения дроби

\frac{1}{(x+2)}

\frac{1}{(x-1)}

убывают. Их отрицательные кратные возрастают, поэтому вся сумма строго возрастает.

Около

x=-2

решающим является слагаемое

-\frac4{3(x+2)}

: слева ветвь уходит вверх, справа — вниз. Около

x=1

слагаемое

-\frac2{3(x-1)}

даёт такое же направление: слева вверх, справа вниз. При больших

|x|

обе дроби малы и график приближается к прямой

y=1

Проводим вертикальные асимптоты

x=-2

x=1

и
горизонтальную асимптоту

y=1

. Отмечаем точки

(-1,0)

(0,1)

(2,0)

, затем строим три возрастающие ветви. график к задаче Демидовича № 262