Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 262

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики дробных рациональных функций:

y=\frac{(x+1)(x-2)}{(x-1)(x+2)}

Построение

Идея

Функция определена при

x\ne-2

x\ne1

. Её нули равны

x=-1\qquadx=2

а при

x=0

получаем

y=1

1
Степени числителя и знаменателя равны, поэтому горизонтальная асимптота
имеет уравнение $y=1$ . Действительно, $y=\frac{x^2-x-2}{x^2+x-2}=1-\frac{2x}{x^2+x-2}$ Прямые $x=-2$ и $x=1$ являются вертикальными асимптотами. График
пересекает горизонтальную асимптоту в точке $(0,1)$ .

Идея. Производная равна $y'=\frac{2(x^2+2)}{(x^2+x-2)^2}>0$ Следовательно, функция строго возрастает на каждом из промежутков
$(-\infty,-2)$ , $(-2,1)$ и $(1,+\infty)$ . Средняя ветвь изменяется от
$-\infty$ до $+\infty$ , поэтому множество значений функции равно
$\mathbb R$ .
2
Построение графика
Проводим вертикальные асимптоты $x=-2$ , $x=1$ и
горизонтальную асимптоту $y=1$ . Отмечаем точки $(-1,0)$ , $(0,1)$ и
$(2,0)$ , затем строим три возрастающие ветви. $график к задаче Демидовича № 262$