Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 284

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 284

Построить график функции y=Asin⁡xy=A\sin x при A=1,10,−2A=1,10,-2.
ПостроениеПри A=1A=1 получаем исходную синусоиду. При A=10A=10 она
растягивается вдоль оси OyOy в 1010 раз. При A=−2A=-2 она растягивается
вдоль оси OyOy в 22 раза и отражается относительно оси OxOx.

Построение

Идея

Для любого действительного значения AA функция определена при всех
x∈Rx\in\mathbb R. Поскольку−1≤sin⁡x≤1-1\le\sin x\le1при A≠0A\ne0 множество значений функции имеет видE=[−∣A∣,∣A∣]E=[-|A|,|A|]Число ∣A∣|A| называется амплитудой. Умножение на AA изменяет только
ординаты точек исходной синусоиды y=sin⁡xy=\sin x:(x,sin⁡x)⟼(x,Asin⁡x)(x,\sin x)\longmapsto(x,A\sin x)
  1. 1
    Идея. Если ∣A∣>1|A|>1, график растягивается вдоль оси OyOy в ∣A∣|A| раз.
    Если A<0A<0, дополнительно происходит отражение относительно оси OxOx.
    Период при A≠0A\ne0 остаётся равным 2π2\pi, а нули не меняются:Asin⁡x=0⟺x=πkk∈ZA\sin x=0
    \quad\Longleftrightarrow\quad
    x=\pi k
    \qquad k\in\mathbb Z    Для A>0A>0 наибольшее значение AA достигается при
    x=π2+2πkx=\dfrac\pi2+2\pi k, а наименьшее значение −A-A — при
    x=3π2+2πkx=\dfrac{3\pi}{2}+2\pi k. При A<0A<0 точки максимума и минимума
    меняются местами.

    Составим таблицу значений на одном периоде.таблица к задаче Демидовича № 284
  2. 2

    Построение графика

    На одном рисунке проводим три синусоиды. Их нули
    совпадают, но амплитуды и положение максимумов и минимумов различаются.график к задаче Демидовича № 284

Проверка

Ответ. При A=1A=1 получаем исходную синусоиду. При A=10A=10 она
растягивается вдоль оси OyOy в 1010 раз. При A=−2A=-2 она растягивается
вдоль оси OyOy в 22 раза и отражается относительно оси OxOx.
Демидович № 284 — решение и ответ