Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 280

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 280

Построить график логарифмической функции

y=\log_a x

при

a=\dfrac12,\ 2,\ e,\ 10

Построение

Идея

Логарифм определён только при положительном аргументе, а его основание
должно быть положительным и отличным от единицы. Все четыре заданных
основания удовлетворяют этим требованиям, поэтому в каждом случае

D=(0,+\infty)

1
Идея. Функции $y=\log_a x$ и $y=a^x$ взаимно обратны. Поэтому график
$y=\log_a x$ можно получить отражением графика $y=a^x$ относительно
прямой $y=x$ . Для любого допустимого основания $\log_a1=0$ следовательно, все четыре графика проходят через точку $(1,0)$ .
Кроме того, прямая $x=0$ является вертикальной асимптотой.
2
Рассмотрим каждое основание отдельно.

При $a=\dfrac12$ имеем $y=\log_{1/2}x=-\log_2x$ Поскольку $0<a<1$ , функция строго убывает на $(0,+\infty)$ . Для
построения удобно отметить точки $\left(\dfrac14,2\right),\quad\left(\dfrac12,1\right),\quad(1,0),\quad(2,-1),\quad(4,-2)$ При $x\to0+$ функция стремится к $+\infty$ , а при $x\to+\infty$ —
к $-\infty$ .

При $a=2$ функция $y=\log_2x$ строго возрастает. Её опорные точки имеют вид $\left(\dfrac14,-2\right),\quad\left(\dfrac12,-1\right),\quad(1,0),\quad(2,1),\quad(4,2)$ Этот график является отражением графика $y=\log_{1/2}x$ относительно
оси $Ox$ .

При $a=e$ получаем натуральный логарифм $y=\log_ex=\ln x$ Функция возрастает и проходит через точки $\left(\dfrac1e,-1\right),\qquad(1,0),\qquad(e,1)$ При $a=10$ функция $y=\log_{10}x$ также возрастает. Удобные опорные точки: $\left(\dfrac1{10},-1\right),\qquad(1,0),\qquad(10,1)$
3
Для каждого $y\in\mathbb R$ число $x=a^y$ положительно и
$\log_a(a^y)=y$ . Поэтому множество значений каждой из четырёх функций
равно $E=\mathbb R$ На промежутке $x>1$ положительные возрастающие логарифмы расположены
в порядке $\log_2x>\ln x>\log_{10}x>0$ При $0<x<1$ порядок меняется на противоположный: $\log_2x<\ln x<\log_{10}x<0$ Функция
$\log_{1/2}x$ имеет знак, противоположный знаку $\log_2x$ .
4
Построение графика
Проводим четыре кривые через общую точку $(1,0)$ . Возрастающие графики
при приближении к оси $Oy$ уходят вниз, а убывающий график — вверх.
Все ветви продолжаются до границ рисунка. $график к задаче Демидовича № 280$