Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 280

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 280

Построить график логарифмической функцииy=log⁡axy=\log_a xприa=12, 2, e, 10a=\dfrac12,\ 2,\ e,\ 10

Построение

Логарифм определён только при положительном аргументе, а его основание
должно быть положительным и отличным от единицы. Все четыре заданных
основания удовлетворяют этим требованиям, поэтому в каждом случаеD=(0,+∞)D=(0,+\infty)Функции y=log⁡axy=\log_a x и y=axy=a^x взаимно обратны. Поэтому график
y=log⁡axy=\log_a x можно получить отражением графика y=axy=a^x относительно
прямой y=xy=x. Для любого допустимого основанияlog⁡a1=0\log_a1=0следовательно, все четыре графика проходят через точку (1,0)(1,0).
Кроме того, прямая x=0x=0 является вертикальной асимптотой.
Рассмотрим каждое основание отдельно.

При a=12a=\dfrac12 имеемy=log⁡12x=−log⁡2xy=\log_{\frac{1}{2}}x=-\log_2xПоскольку 0<a<10<a<1, функция строго убывает на (0,+∞)(0,+\infty). Для
построения удобно отметить точки(14,2),(12,1),(1,0),(2,−1),(4,−2)\left(\dfrac14,2\right),
\quad
\left(\dfrac12,1\right),
\quad
(1,0),
\quad
(2,-1),
\quad
(4,-2)При x→0+x\to0+ функция стремится к +∞+\infty, а при x→+∞x\to+\infty —
к −∞-\infty.

При a=2a=2 функцияy=log⁡2xy=\log_2xстрого возрастает. Её опорные точки имеют вид(14,−2),(12,−1),(1,0),(2,1),(4,2)\left(\dfrac14,-2\right),
\quad
\left(\dfrac12,-1\right),
\quad
(1,0),
\quad
(2,1),
\quad
(4,2)Этот график является отражением графика y=log⁡12xy=\log_{\frac{1}{2}}x относительно
оси OxOx.

При a=ea=e получаем натуральный логарифмy=log⁡ex=ln⁡xy=\log_ex=\ln xФункция возрастает и проходит через точки(1e,−1),(1,0),(e,1)\left(\dfrac1e,-1\right),
\qquad
(1,0),
\qquad
(e,1)При a=10a=10 функцияy=log⁡10xy=\log_{10}xтакже возрастает. Удобные опорные точки:(110,−1),(1,0),(10,1)\left(\dfrac1{10},-1\right),
\qquad
(1,0),
\qquad
(10,1)
Для каждого y∈Ry\in\mathbb R число x=ayx=a^y положительно и
log⁡a(ay)=y\log_a(a^y)=y. Поэтому множество значений каждой из четырёх функций
равноE=RE=\mathbb RНа промежутке x>1x>1 положительные возрастающие логарифмы расположены
в порядкеlog⁡2x>ln⁡x>log⁡10x>0\log_2x>\ln x>\log_{10}x>0При 0<x<10<x<1 порядок меняется на противоположный:log⁡2x<ln⁡x<log⁡10x<0\log_2x<\ln x<\log_{10}x<0Функция
log⁡12x\log_{\frac{1}{2}}x имеет знак, противоположный знаку log⁡2x\log_2x.

Построение графика

Проводим четыре кривые через общую точку (1,0)(1,0). Возрастающие графики
при приближении к оси OyOy уходят вниз, а убывающий график — вверх.
Все ветви продолжаются до границ рисунка.график к задаче Демидовича № 280
Демидович № 280 — решение | Высшая математика — Профиматика