Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 265

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 265

Согласно закону Ван-дер-Ваальса объём VV реального газа и его давление
pp при постоянной температуре связаны соотношением(p+aV2)(V−b)=c\left(p+\frac a{V^2}\right)(V-b)=cПостроить график функции p=p(V)p=p(V), если a=2a=2, b=0,1b=0{,}1 и c=10c=10.
Построениеp(V)=10V−0,1−2V2V>0,1p(V)=\frac{10}{V-0{,}1}-\frac2{V^2}
\qquad V>0{,}1

Построение

Идея

Подставим заданные значения параметров и выразим давление:(p+2V2)(V−0,1)=10p(V)=10V−0,1−2V2\begin{aligned}
\left(p+\frac2{V^2}\right)(V-0{,}1)&=10\\
p(V)&=\frac{10}{V-0{,}1}-\frac2{V^2}
\end{aligned}В модели Ван-дер-Ваальса физически допустимы объёмыV>b=0,1V>b=0{,}1На этом промежутке давление положительно. Действительно,p(V)=10V2−2V+0,2V2(V−0,1)p(V)=\frac{10V^2-2V+0{,}2}{V^2(V-0{,}1)}а числитель имеет отрицательный дискриминант и положительный старший
коэффициент.
  1. 1
    При приближении к минимальному допустимому объёму и при неограниченном
    увеличении объёма получаемlim⁡V→0,1+p(V)=+∞lim⁡V→+∞p(V)=0\lim_{V\to0{,}1+}p(V)=+\infty
    \qquad
    \lim_{V\to+\infty}p(V)=0    Следовательно, V=0,1V=0{,}1 является вертикальной асимптотой, а p=0p=0 —
    горизонтальной.

    Идея. Покажем, что давление строго убывает. Производная равнаp′(V)=−10(V−0,1)2+4V3p'(V)=-\frac{10}{(V-0{,}1)^2}+\frac4{V^3}Функцияh(V)=(V−0,1)2V3V>0,1h(V)=\frac{(V-0{,}1)^2}{V^3}
    \qquad V>0{,}1    имеет производнуюh′(V)=(V−0,1)(0,3−V)V4h'(V)=\frac{(V-0{,}1)(0{,}3-V)}{V^4}При V>0,1V>0{,}1 отсюда следует, чтоh′(V)>0при0,1<V<0,3h′(V)<0приV>0,3h'(V)>0
    \quad\text{при}\quad
    0{,}1<V<0{,}3
    \qquad
    h'(V)<0
    \quad\text{при}\quad
    V>0{,}3    Значит, наибольшее значение достигается при V=0,3V=0{,}3:max⁡V>0,1h(V)=h(0,3)=4027<52\max_{V>0{,}1}h(V)=h(0{,}3)=\frac{40}{27}<\frac52Поэтому4V3<10(V−0,1)2\frac4{V^3}<\frac{10}{(V-0{,}1)^2}то есть p′(V)<0p'(V)<0 во всей физической области.
  2. 2
    Для построения отметим несколько точек:таблица к задаче Демидовича № 265
  3. 3

    Построение графика

    Справа от асимптоты V=0,1V=0{,}1 строим положительную
    убывающую ветвь, проходящую через найденные точки и приближающуюся к оси
    OVOV при V→+∞V\to+\infty.график к задаче Демидовича № 265

Проверка

Ответ.p(V)=10V−0,1−2V2V>0,1p(V)=\frac{10}{V-0{,}1}-\frac2{V^2}
\qquad V>0{,}1
Демидович № 265 — решение и ответ