Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 265

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 265

Согласно закону Ван-дер-Ваальса объём VV реального газа и его давление
pp при постоянной температуре связаны соотношением(p+aV2)(V−b)=c\left(p+\frac a{V^2}\right)(V-b)=cПостроить график функции p=p(V)p=p(V), если a=2a=2, b=0,1b=0{,}1 и c=10c=10.
Построениеp(V)=10V−0,1−2V2V>0,1p(V)=\frac{10}{V-0{,}1}-\frac2{V^2}
\qquad V>0{,}1

Построение

Подставим заданные значения параметров и выразим давление:(p+2V2)(V−0,1)=10p(V)=10V−0,1−2V2\begin{aligned}
\left(p+\frac2{V^2}\right)(V-0{,}1)&=10\\
p(V)&=\frac{10}{V-0{,}1}-\frac2{V^2}
\end{aligned}В модели Ван-дер-Ваальса физически допустимы объёмыV>b=0,1V>b=0{,}1На этом промежутке давление положительно. Действительно,p(V)=10V2−2V+0,2V2(V−0,1)p(V)=\frac{10V^2-2V+0{,}2}{V^2(V-0{,}1)}а числитель имеет отрицательный дискриминант и положительный старший
коэффициент.

Если VV приближается к 0,10{,}1 справа, положительный знаменатель в формуле давления становится сколь угодно малым и давление неограниченно растёт. При увеличении VV знаменатель растёт, а давление приближается к нулю.

Следовательно, V=0,1V=0{,}1 является вертикальной асимптотой, а p=0p=0 —
горизонтальной.

Проверим убывание без дополнительных правил. Положим u=1(10V)u=\frac{1}{(10V)}, тогда 0<u<10<u<1 иp=100(u1−u−2u2).p=100\left(\frac{u}{1-u}-2u^2\right).Обозначим выражение в скобках через P(u)P(u). Для 0<u1<u2<10<u_1<u_2<1 имеемP(u2)−P(u1)=(u2−u1)(1(1−u1)(1−u2)−2(u1+u2)).P(u_2)-P(u_1)=(u_2-u_1)\left(\frac1{(1-u_1)(1-u_2)}-2(u_1+u_2)\right).Покажем, что скобка положительна. Неравенство u(1−u)≤14u(1-u)\leq\frac{1}{4} следует из (u−12)2≥0(u-\frac{1}{2})^2\geq0. Поэтому(u1+u2)(1−u1)(1−u2)=u1(1−u1)(1−u2)+u2(1−u2)(1−u1)≤1−u24+1−u14<12.\begin{aligned}
(u_1+u_2)(1-u_1)(1-u_2)
&=u_1(1-u_1)(1-u_2)+u_2(1-u_2)(1-u_1)\\
&\leq\frac{1-u_2}{4}+\frac{1-u_1}{4}<\frac12.
\end{aligned}Умножая на 22 и деля на положительное (1−u1)(1−u2)(1-u_1)(1-u_2), получаем требуемый знак. Значит, PP возрастает по uu. При увеличении VV величина u=1(10V)u=\frac{1}{(10V)} уменьшается, поэтому давление строго убывает.
Для построения отметим несколько точек:таблица к задаче Демидовича № 265

Построение графика

Справа от асимптоты V=0,1V=0{,}1 строим положительную
убывающую ветвь, проходящую через найденные точки и приближающуюся к оси
OVOV при V→+∞V\to+\infty.график к задаче Демидовича № 265
Демидович № 265 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика