Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 250

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики дробно-линейных функций (гиперболы):

Задача 250

y=1−x1+xy=\dfrac{1-x}{1+x}

Построение

Область определения задаётся условием 1+x≠01+x\ne0, то естьD(f)=R∖{−1}D(f)=\mathbb R\setminus\{-1\}Выделим постоянную часть дроби:1−x1+x=−1+2x+1\dfrac{1-x}{1+x}=-1+\dfrac2{x+1}Следовательно, график получается из гиперболы y=2xy=\dfrac2x переносом
на одну единицу влево и на одну единицу вниз. Его центр равен
(−1,−1)(-1,-1), а асимптоты имеют уравненияx=−1,y=−1x=-1,
\qquad
y=-1Поэтому множество значений равноE(f)=R∖{−1}E(f)=\mathbb R\setminus\{-1\}
Найдём пересечения с координатными осями. При y=0y=0 числитель должен
обратиться в нуль, поэтому x=1x=1. При x=0x=0 получаем y=1y=1. Значит,
график проходит через точки (1,0)(1,0) и (0,1)(0,1). Дополнительно при
x=−2x=-2 имеем y=−3y=-3.

На каждой стороне от x=−1x=-1 дробь 1(x+1)\frac{1}{(x+1)} убывает, как установлено в №249. Умножение на 22 и вычитание 11 сохраняют направление изменения. Одностороннее поведение около
вертикальной асимптоты имеет видx→−1−⟹y→−∞,x→−1+⟹y→+∞\begin{aligned}
x\to-1-&\quad\Longrightarrow\quad y\to-\infty,\\
x\to-1+&\quad\Longrightarrow\quad y\to+\infty
\end{aligned}

Построение графика

Проводим асимптоты x=−1x=-1 и y=−1y=-1, отмечаем центр
(−1,−1)(-1,-1) и точки (−2,−3)(-2,-3), (0,1)(0,1), (1,0)(1,0). Затем строим две
убывающие ветви гиперболы.график к задаче Демидовича № 250

Полученный график является гиперболой с центром (−1,−1)(-1,-1).
Демидович № 250 — решение | Высшая математика — Профиматика