Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 250

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики дробно-линейных функций (гиперболы):

Задача 250

y=1−x1+xy=\dfrac{1-x}{1+x}

Построение

Идея

Область определения задаётся условием 1+x≠01+x\ne0, то естьD(f)=R∖{−1}D(f)=\mathbb R\setminus\{-1\}
  1. 1
    Идея. Выделим постоянную часть дроби:1−x1+x=−1+2x+1\dfrac{1-x}{1+x}=-1+\dfrac2{x+1}Следовательно, график получается из гиперболы y=2xy=\dfrac2x переносом
    на одну единицу влево и на одну единицу вниз. Его центр равен
    (−1,−1)(-1,-1), а асимптоты имеют уравненияx=−1,y=−1x=-1,
    \qquad
    y=-1    Поэтому множество значений равноE(f)=R∖{−1}E(f)=\mathbb R\setminus\{-1\}
  2. 2
    Найдём пересечения с координатными осями. При y=0y=0 числитель должен
    обратиться в нуль, поэтому x=1x=1. При x=0x=0 получаем y=1y=1. Значит,
    график проходит через точки (1,0)(1,0) и (0,1)(0,1). Дополнительно при
    x=−2x=-2 имеем y=−3y=-3.

    Производнаяy′=−2(x+1)2<0y'=-\dfrac2{(x+1)^2}<0показывает, что функция убывает на каждом из промежутков
    (−∞,−1)(-\infty,-1) и (−1,+∞)(-1,+\infty). Одностороннее поведение около
    вертикальной асимптоты имеет видx→−1−⟹y→−∞,x→−1+⟹y→+∞\begin{aligned}
    x\to-1-&\quad\Longrightarrow\quad y\to-\infty,\\
    x\to-1+&\quad\Longrightarrow\quad y\to+\infty
    \end{aligned}
  3. 3

    Построение графика

    Проводим асимптоты x=−1x=-1 и y=−1y=-1, отмечаем центр
    (−1,−1)(-1,-1) и точки (−2,−3)(-2,-3), (0,1)(0,1), (1,0)(1,0). Затем строим две
    убывающие ветви гиперболы.график к задаче Демидовича № 250

Проверка

Полученный график является гиперболой с центром (−1,−1)(-1,-1).
Демидович № 250 — решение