Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 249

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики дробно-линейных функций (гиперболы):

Задача 249

y=1xy=\dfrac1x

Построение

Знаменатель не должен обращаться в нуль, поэтому область определения
функции имеет видD(f)=R∖{0}D(f)=\mathbb R\setminus\{0\}Значение функции не может быть равно нулю. Обратно, для любого
y≠0y\ne0 можно взятьx=1y≠0,f(x)=11y=yx=\dfrac1y\ne0,
\qquad
f(x)=\dfrac1{\frac{1}{y}}=yСледовательно, функция принимает каждое ненулевое значение иE(f)=R∖{0}E(f)=\mathbb R\setminus\{0\}Функция нечётная, посколькуf(−x)=1−x=−1x=−f(x)f(-x)=\dfrac1{-x}=-\dfrac1x=-f(x)Поэтому её график симметричен относительно начала координат. При
x>0x>0 функция положительна, а при x<0x<0 отрицательна.

Прямые x=0x=0 и y=0y=0 являются асимптотами. Действительно,x→0+⟹y→+∞,x→0−⟹y→−∞,x→+∞⟹y→0+,x→−∞⟹y→0−\begin{aligned}
x\to0+&\quad\Longrightarrow\quad y\to+\infty,
&x\to0-&\quad\Longrightarrow\quad y\to-\infty,\\
x\to+\infty&\quad\Longrightarrow\quad y\to0+,
&x\to-\infty&\quad\Longrightarrow\quad y\to0-
\end{aligned}Если x1<x2x_1<x_2 лежат по одну сторону от нуля, то x1x2>0x_1x_2>0 и 1x2−1x1=(x1−x2)(x1x2)<0\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}=\frac{(x_1-x_2)}{(x_1x_2)}<0. Значит, функция убывает отдельно на каждом из
промежутков (−∞,0)(-\infty,0) и (0,+∞)(0,+\infty).
Для построения отметим точки(−2,−12),(−1,−1),(1,1),(2,12)\left(-2,-\dfrac12\right),\quad(-1,-1),\quad
(1,1),\quad\left(2,\dfrac12\right)

Построение графика

В первой координатной четверти проводим убывающую
ветвь через точки (1,1)(1,1) и (2,12)\left(2,\dfrac12\right), приближающуюся
к обеим координатным осям. Вторую ветвь получаем центральной симметрией.график к задаче Демидовича № 249

График состоит из двух ветвей и является равнобочной гиперболой с
центром в начале координат.
Демидович № 249 — решение | Высшая математика — Профиматика