Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 249

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики дробно-линейных функций (гиперболы):

y=\dfrac1x

Построение

Идея

Знаменатель не должен обращаться в нуль, поэтому область определения
функции имеет вид

D(f)=\mathbb R\setminus\{0\}

Значение функции не может быть равно нулю. Обратно, для любого

y\ne0

можно взять

x=\dfrac1y\ne0,\qquadf(x)=\dfrac1{1/y}=y

Следовательно, функция принимает каждое ненулевое значение и

E(f)=\mathbb R\setminus\{0\}

1
Идея. Функция нечётная, поскольку $f(-x)=\dfrac1{-x}=-\dfrac1x=-f(x)$ Поэтому её график симметричен относительно начала координат. При
$x>0$ функция положительна, а при $x<0$ отрицательна.

Прямые $x=0$ и $y=0$ являются асимптотами. Действительно, $\begin{aligned}x\to0+&\quad\Longrightarrow\quad y\to+\infty,&x\to0-&\quad\Longrightarrow\quad y\to-\infty,\\x\to+\infty&\quad\Longrightarrow\quad y\to0+,&x\to-\infty&\quad\Longrightarrow\quad y\to0-\end{aligned}$ Производная $y'=-\dfrac1{x^2}<0$ при всех $x\ne0$ . Значит, функция убывает отдельно на каждом из
промежутков $(-\infty,0)$ и $(0,+\infty)$ .
2
Для построения отметим точки $\left(-2,-\dfrac12\right),\quad(-1,-1),\quad(1,1),\quad\left(2,\dfrac12\right)$
3
Построение графика
В первой координатной четверти проводим убывающую
ветвь через точки $(1,1)$ и $\left(2,\dfrac12\right)$ , приближающуюся
к обеим координатным осям. Вторую ветвь получаем центральной симметрией. $график к задаче Демидовича № 249$

Проверка

График состоит из двух ветвей и является равнобочной гиперболой с
центром в начале координат.