Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 283

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 283

Построить график функцииy=log⁡x2y=\log_x2

Построение

Идея

Переменная xx является основанием логарифма. Основание должно быть
положительным и не должно равняться единице, поэтомуD=(0,1)∪(1,+∞)D=(0,1)\cup(1,+\infty)
  1. 1
    Идея. По формуле перехода к новому основаниюy=log⁡x2=ln⁡2ln⁡xy=\log_x2=\dfrac{\ln2}{\ln x}Эта запись позволяет исследовать обе ветви функции.

    При 0<x<10<x<1 знаменатель отрицателен, поэтому y<0y<0. При x>1x>1
    знаменатель положителен, поэтому y>0y>0. Нулей у функции нет. Её
    производная равнаy′=−ln⁡2x(ln⁡x)2<0y'=-\dfrac{\ln2}{x(\ln x)^2}<0на каждом промежутке области определения. Следовательно, обе ветви
    строго убывают.
  2. 2
    Рассмотрим пределы:lim⁡x→0+log⁡x2=0−,lim⁡x→1−log⁡x2=−∞,lim⁡x→1+log⁡x2=+∞,lim⁡x→+∞log⁡x2=0+\begin{aligned}
    &\lim_{x\to0+}\log_x2=0-,
    &&\lim_{x\to1-}\log_x2=-\infty,\\
    &\lim_{x\to1+}\log_x2=+\infty,
    &&\lim_{x\to+\infty}\log_x2=0+
    \end{aligned}    Таким образом, x=1x=1 является вертикальной асимптотой, а y=0y=0 —
    горизонтальной асимптотой при x→+∞x\to+\infty. При x→0+x\to0+ левая
    ветвь стремится к точке (0,0)(0,0), но сама эта точка графику не
    принадлежит.

    Удобные опорные точки:(14,−12),(12,−1),(2,1),(2,2),(4,12)\left(\dfrac14,-\dfrac12\right),
    \qquad
    \left(\dfrac12,-1\right),
    \qquad
    (2,1),
    \qquad
    (\sqrt2,2),
    \qquad
    \left(4,\dfrac12\right)    Значение y=0y=0 невозможно. Обратно, для любого y≠0y\ne0 положимx=21/yx=2^{1/y}Тогда x>0x>0, x≠1x\ne1 иlog⁡x2=ln⁡2ln⁡(21/y)=ln⁡2ln⁡2/y=y\log_x2=\dfrac{\ln2}{\ln(2^{1/y})}
    =\dfrac{\ln2}{\ln2/y}=y    Следовательно,E=R∖{0}E=\mathbb R\setminus\{0\}
  3. 3

    Построение графика

    Слева от асимптоты x=1x=1 проводим отрицательную убывающую ветвь: она
    начинается у выколотой предельной точки (0,0)(0,0) и уходит вниз. Справа
    проводим положительную убывающую ветвь, которая входит в окно сверху
    и продолжается до правой границы, приближаясь к оси OxOx.график к задаче Демидовича № 283
Демидович № 283 — решение