Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 283

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 283

Построить график функцииy=log⁡x2y=\log_x2

Построение

Переменная xx является основанием логарифма. Основание должно быть
положительным и не должно равняться единице, поэтомуD=(0,1)∪(1,+∞)D=(0,1)\cup(1,+\infty)По формуле перехода к новому основаниюy=log⁡x2=ln⁡2ln⁡xy=\log_x2=\dfrac{\ln2}{\ln x}Эта запись позволяет исследовать обе ветви функции.

При 0<x<10<x<1 знаменатель отрицателен, поэтому y<0y<0. При x>1x>1
знаменатель положителен, поэтому y>0y>0. Нулей у функции нет. Логарифм ln⁡x\ln x строго возрастает и на каждой стороне от x=1x=1 сохраняет знак. Переход к обратной величине меняет направление: для двух ненулевых чисел одного знака a<ba<b имеем 1b−1a=(a−b)(ab)<0\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=\frac{(a-b)}{(ab)}<0. Так как ln⁡2>0\ln2>0, обе ветви функции строго убывают.
Рассмотрим пределы:

Пользуемся формулой log⁡x2=ln⁡2ln⁡x\log_x2=\frac{\ln2}{\ln x}. При приближении к нулю справа знаменатель отрицателен и велик по модулю, поэтому ординаты близки к нулю снизу. При приближении к 11 слева ветвь уходит вниз, справа — вверх. При неограниченном увеличении xx ординаты приближаются к нулю сверху.

Таким образом, x=1x=1 является вертикальной асимптотой, а y=0y=0 —
горизонтальной асимптотой при x→+∞x\to+\infty. При x→0+x\to0+ левая
ветвь стремится к точке (0,0)(0,0), но сама эта точка графику не
принадлежит.

Удобные опорные точки:(14,−12),(12,−1),(2,1),(2,2),(4,12)\left(\dfrac14,-\dfrac12\right),
\qquad
\left(\dfrac12,-1\right),
\qquad
(2,1),
\qquad
(\sqrt2,2),
\qquad
\left(4,\dfrac12\right)Значение y=0y=0 невозможно. Обратно, для любого y≠0y\ne0 положимx=21yx=2^{\frac{1}{y}}Тогда x>0x>0, x≠1x\ne1 иlog⁡x2=ln⁡2ln⁡(21y)=ln⁡2ln⁡2y=y\log_x2=\dfrac{\ln2}{\ln(2^{\frac{1}{y}})}
=\dfrac{\ln2}{\frac{\ln2}{y}}=yСледовательно,E=R∖{0}E=\mathbb R\setminus\{0\}

Построение графика

Слева от асимптоты x=1x=1 проводим отрицательную убывающую ветвь: она
начинается у выколотой предельной точки (0,0)(0,0) и уходит вниз. Справа
проводим положительную убывающую ветвь, которая входит в окно сверху
и продолжается до правой границы, приближаясь к оси OxOx.график к задаче Демидовича № 283
Демидович № 283 — решение | Высшая математика — Профиматика