Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 273

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики иррациональных функций:

Задача 273

y=±(x2−1)(9−x2)y=\pm\sqrt{(x^2-1)(9-x^2)}

Построение

Для существования квадратного корня требуется(x2−1)(9−x2)≥0(x^2-1)(9-x^2)\ge0Положим u=x2u=x^2. Тогда(u−1)(9−u)≥0⟺1≤u≤9(u-1)(9-u)\ge0
\quad\Longleftrightarrow\quad
1\le u\le9Возвращаясь к переменной xx, получаем1≤x2≤9⟺x∈[−3,−1]∪[1,3]1\le x^2\le9
\quad\Longleftrightarrow\quad
x\in[-3,-1]\cup[1,3]Все четыре граничные точки входят в область определения.

Подкоренное выражение зависит только от x2x^2, а знак ±\pm
даёт отражение относительно оси OxOx. Поэтому вся кривая симметрична
относительно обеих координатных осей. Её нули имеют координаты(−3,0),(−1,0),(1,0),(3,0)(-3,0),
\qquad
(-1,0),
\qquad
(1,0),
\qquad
(3,0)Чтобы найти наибольшую высоту петель, исследуем квадрат ординаты:y2=(x2−1)(9−x2)=−x4+10x2−9y^2=(x^2-1)(9-x^2)=-x^4+10x^2-9Выделим полный квадрат:y2=16−(x2−5)2≤16.y^2=16-(x^2-5)^2\leq16.Равенство возможно ровно при x2=5x^2=5, то есть x=±5x=\pm\sqrt5; в этих точках y=±4y=\pm4. На правом отрезке [1,3][1,3] квадрат x2x^2 возрастает от 11 до 99. До x=5x=\sqrt5 расстояние от x2x^2 до 55 уменьшается, затем увеличивается. Поэтому верхняя дуга сначала поднимается до высоты 44, затем опускается; остальные части получаются отражениями. Все ординаты от −4-4 до 44 достигаются: можно взять x=5−16−y2∈[1,5]x=\sqrt{5-\sqrt{16-y^2}}\in[1,\sqrt5] и выбрать знак ветви.
Следовательно, множество значений всей кривой равноE=[−4,4]E=[-4,4]

Построение графика

На каждом из отрезков [−3,−1][-3,-1] и [1,3][1,3]
верхняя и нижняя ветви соединяют два соседних нуля. Отмечаем точки
(±5,±4)(\pm\sqrt5,\pm4) и проводим две замкнутые симметричные петли. За
пределами указанных отрезков графика нет.график к задаче Демидовича № 273
Демидович № 273 — решение | Высшая математика — Профиматика