Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 260

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики дробных рациональных функций:

Задача 260

y=\frac1{1+x}-\frac2x+\frac1{1-x}

Построение

Идея

Область определения функции:

x\ne-1\qquad x\ne0\qquad x\ne1

Приведём дроби к общему знаменателю:

\begin{aligned}y&=\frac{2}{1-x^2}-\frac2x=\\&=\frac{2(x^2+x-1)}{x(1-x^2)}\end{aligned}

Отсюда нули функции равны

x=\frac{-1-\sqrt5}{2}\approx-1{,}618\qquadx=\frac{-1+\sqrt5}{2}\approx0{,}618

1
Прямые $x=-1$ , $x=0$ и $x=1$ являются вертикальными асимптотами.
Поскольку при $|x|\to\infty$ функция стремится к нулю, прямая $y=0$
является горизонтальной асимптотой.

Идея. Для определения промежутков изменения вычислим производную: $y'=\frac{2\bigl(x^4+2x^3-2x^2+1\bigr)}{x^2(1-x^2)^2}$ Знаменатель положителен во всех точках области определения. Обозначим
многочлен в числителе через $q(x)=x^4+2x^3-2x^2+1$ Его производная равна $\begin{aligned}q'(x)&=4x^3+6x^2-4x=\\&=2x(2x-1)(x+2)\end{aligned}$ Следовательно, $q$ убывает на $(-\infty,-2)$ , возрастает на $(-2,0)$ ,
убывает на $\left(0,\frac12\right)$ и возрастает на
$\left(\frac12,+\infty\right)$ . При этом $q(-2)=-7\qquadq(0)=1\qquadq\left(\frac12\right)=\frac{13}{16}>0$ и $q(x)\to+\infty\qquad (x\to-\infty)$ Значит, один корень лежит на $(-\infty,-2)$ , второй — на $(-2,0)$ ,
а положительных корней нет. Численно получаем $x_1\approx-2{,}692\qquadx_2\approx-0{,}594$ Соответствующие значения функции равны $f(x_1)\approx0{,}423\qquadf(x_2)\approx6{,}457$ Функция возрастает на $(-\infty,x_1)$ , $(x_2,0)$ , $(0,1)$ и
$(1,+\infty)$ , а убывает на $(x_1,-1)$ и $(-1,x_2)$ . Поэтому при $x_1$
имеется локальный максимум, а при $x_2$ — локальный минимум.
2
Построение графика
Проводим вертикальные асимптоты $x=-1$ , $x=0$ ,
$x=1$ и горизонтальную асимптоту $y=0$ . Затем отмечаем два нуля и две
точки экстремума и строим четыре ветви с учётом односторонних пределов. $график к задаче Демидовича № 260$