Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 260

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Построить графики дробных рациональных функций:

Задача 260

y=\frac1{1+x}-\frac2x+\frac1{1-x}

Построение

Область определения —

x\ne-1,0,1

. Сложим первую и третью дроби:

f(x)=\frac2{1-x^2}-\frac2x=\frac{2(x^2+x-1)}{x(1-x^2)}.

Поэтому нули равны

\alpha=\frac{(-1-\sqrt5)}{2}

\beta=\frac{(-1+\sqrt5)}{2}

График можно построить сложением ординат функций

\frac{2}{(1-x^2)}

-\frac{2}{x}

. Первая получается из графика №258 растяжением вдвое, вторая — гипербола. Они показывают и поведение около исключённых точек:

\begin{array}{c|rrrrrr}x&-1-0&-1+0&0-0&0+0&1-0&1+0\\\hlinef(x)&-\infty&+\infty&+\infty&-\infty&+\infty&-\infty\end{array}

Например, около

x=-1

неограниченно меняется только

\frac{1}{(1+x)}

, тогда как два остальных слагаемых остаются конечными. Около

x=0

знак неограниченного слагаемого

-\frac{2}{x}

противоположен знаку

x

. Около

x=1

решающим становится

\frac{1}{(1-x)}

.

Таким образом, вертикальные асимптоты —

x=-1,0,1

. При больших

|x|

каждое слагаемое мало, и горизонтальная асимптота —

y=0

. По знакам числителя и знаменателя

f

положительна на

(-\infty,\alpha)\cup(-1,0)\cup(\beta,1)

и отрицательна на

(\alpha,-1)\cup(0,\beta)\cup(1,+\infty)

.

На

(0,1)

(1,+\infty)

оба слагаемых

\frac{2}{(1-x^2)}

-\frac{2}{x}

возрастают, поэтому их сумма возрастает. Левые ветви построим по сумме ординат и таблице:

\begin{array}{c|rrrrrr}x&-4&-3&-2&-\frac{4}{5}&-\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\\\hlinef(x)&\frac{11}{30}&\frac{5}{12}&\frac{1}{3}&\frac{145}{18}&\frac{155}{24}&\frac{155}{21}\end{array}

Эта таблица вместе с нулями, знаками и поведением около асимптот задаёт эскиз. Для уточнения дуг можно добавить промежуточные точки, вычисляя две простые дроби. график к задаче Демидовича № 260