Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 239

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 239

Построить графики линейных функций:

\text{а) }y=2x+3;\qquad\text{б) }y=2-0{,}1x;\qquad\text{в) }y=-\frac{x}{2}-1

Построение

Идея

Каждая функция имеет вид

y=kx+b

, поэтому её график — прямая.
Для построения удобно найти пересечения с координатными осями:

x=0\quad\Longrightarrow\quad y=b,\qquady=0\quad\Longrightarrow\quad x=-\frac{b}{k}

1
Найдём опорные точки для каждой функции отдельно.
2
Пункт а)
Функция $y=2x+3$ .
При $x=0$ получаем $y=2\cdot0+3=3$ поэтому график пересекает ось $Oy$ в точке $(0,3)$ . Для пересечения с
осью $Ox$ полагаем $y=0$ : $\begin{aligned}2x+3&=0\\2x&=-3\\x&=-\frac32\end{aligned}$ Вторая опорная точка равна $\left(-\dfrac32,0\right)$ .
3
Пункт б)
Функция $y=2-0{,}1x$ .
При $x=0$ имеем $y=2-0{,}1\cdot0=2$ поэтому первая точка равна $(0,2)$ . Полагая $y=0$ , получаем $\begin{aligned}2-0{,}1x&=0\\0{,}1x&=2\\x&=20\end{aligned}$ Следовательно, вторая опорная точка — $(20,0)$ .
4
Пункт в)
Функция $y=-\dfrac{x}{2}-1$ .
Подстановка $x=0$ даёт $y=-\frac{0}{2}-1=-1$ поэтому получаем точку $(0,-1)$ . Для пересечения с осью $Ox$ решаем
уравнение $\begin{aligned}-\frac{x}{2}-1&=0\\-\frac{x}{2}&=1\\x&=-2\end{aligned}$ Вторая опорная точка равна $(-2,0)$ .

Сведём результаты в таблицу. Заголовки длинных столбцов перенесены на
две строки, чтобы текст не накладывался. $таблица к задаче Демидовича № 239$

Построение графика а).
Угловой коэффициент $2>0$ , поэтому функция возрастает. Проводим
прямую через точки $\left(-\dfrac32,0\right)$ и $(0,3)$ . $график к задаче Демидовича № 239$

Построение графика б).
Здесь $k=-0{,}1<0$ , поэтому функция убывает. При одинаковом масштабе
координатных осей небольшой модуль углового коэффициента означает, что
прямая наклонена полого. Из-за удалённой точки пересечения $(20,0)$ на
нашем рисунке выбираем более широкий диапазон оси $Ox$ , поэтому по его
внешнему виду нельзя непосредственно сравнивать угол наклона с другими
графиками. $график к задаче Демидовича № 239$

Построение графика в).
Угловой коэффициент отрицателен, поэтому функция убывает. Строим
прямую через точки $(-2,0)$ и $(0,-1)$ . $график к задаче Демидовича № 239$

Проверка

Во всех трёх случаях две найденные точки однозначно определяют
соответствующую прямую.