Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 239

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 239

Построить графики линейных функций:а) y=2x+3;б) y=2−0,1x;в) y=−x2−1\text{а) }y=2x+3;
\qquad
\text{б) }y=2-0{,}1x;
\qquad
\text{в) }y=-\frac{x}{2}-1

Построение

Каждая функция имеет вид y=kx+by=kx+b, поэтому её график — прямая.
Для построения удобно найти пересечения с координатными осями:x=0⟹y=b,y=0⟹x=−bkx=0\quad\Longrightarrow\quad y=b,
\qquad
y=0\quad\Longrightarrow\quad x=-\frac{b}{k}Найдём опорные точки для каждой функции отдельно.

Пункт а)

Функция y=2x+3y=2x+3.
При x=0x=0 получаемy=2⋅0+3=3y=2\cdot0+3=3поэтому график пересекает ось OyOy в точке (0,3)(0,3). Для пересечения с
осью OxOx полагаем y=0y=0:2x+3=02x=−3x=−32\begin{aligned}
2x+3&=0\\
2x&=-3\\
x&=-\frac32
\end{aligned}Вторая опорная точка равна (−32,0)\left(-\dfrac32,0\right).

Пункт б)

Функция y=2−0,1xy=2-0{,}1x.
При x=0x=0 имеемy=2−0,1⋅0=2y=2-0{,}1\cdot0=2поэтому первая точка равна (0,2)(0,2). Полагая y=0y=0, получаем2−0,1x=00,1x=2x=20\begin{aligned}
2-0{,}1x&=0\\
0{,}1x&=2\\
x&=20
\end{aligned}Следовательно, вторая опорная точка — (20,0)(20,0).

Пункт в)

Функция y=−x2−1y=-\dfrac{x}{2}-1.
Подстановка x=0x=0 даётy=−02−1=−1y=-\frac{0}{2}-1=-1поэтому получаем точку (0,−1)(0,-1). Для пересечения с осью OxOx решаем
уравнение−x2−1=0−x2=1x=−2\begin{aligned}
-\frac{x}{2}-1&=0\\
-\frac{x}{2}&=1\\
x&=-2
\end{aligned}Вторая опорная точка равна (−2,0)(-2,0).

Сведём результаты в таблицу.таблица к задаче Демидовича № 239

Построение графика а).
Угловой коэффициент 2>02>0, поэтому функция возрастает. Проводим
прямую через точки (−32,0)\left(-\dfrac32,0\right) и (0,3)(0,3).график к задаче Демидовича № 239

Построение графика б).
Здесь k=−0,1<0k=-0{,}1<0, поэтому функция убывает. При одинаковом масштабе
координатных осей небольшой модуль углового коэффициента означает, что
прямая наклонена полого. Из-за удалённой точки пересечения (20,0)(20,0) на
нашем рисунке выбираем более широкий диапазон оси OxOx, поэтому по его
внешнему виду нельзя непосредственно сравнивать угол наклона с другими
графиками.график к задаче Демидовича № 239

Построение графика в).
Угловой коэффициент отрицателен, поэтому функция убывает. Строим
прямую через точки (−2,0)(-2,0) и (0,−1)(0,-1).график к задаче Демидовича № 239

Во всех трёх случаях две найденные точки однозначно определяют
соответствующую прямую.
Демидович № 239 — решение | Высшая математика — Профиматика