Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 251

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 251

Построить график дробно-линейной функцииy=ax+bcx+d(ad−bc≠0, c≠0)y=\dfrac{ax+b}{cx+d}
\qquad
(ad-bc\ne0,\ c\ne0)приведя её к видуy=y0+mx−x0y=y_0+\dfrac{m}{x-x_0}Рассмотреть примерy=3x+22x−3y=\dfrac{3x+2}{2x-3}

Построение

Преобразуем общую дробно-линейную функцию. Выделяя постоянную часть,
получаемax+bcx+d=\displaystyle \dfrac{ax+b}{cx+d}\mathrel{=}ac+bc−adc(cx+d)=\displaystyle \dfrac ac+\dfrac{bc-ad}{c(cx+d)}\mathrel{=}ac+bc−adc2⋅1x+dc\displaystyle \dfrac ac+\dfrac{bc-ad}{c^2}\cdot
\dfrac1{x+\frac dc}Следовательно,x0=−dc,y0=ac,m=bc−adc2x_0=-\dfrac dc,
\qquad
y_0=\dfrac ac,
\qquad
m=\dfrac{bc-ad}{c^2}Условие ad−bc≠0ad-bc\ne0 гарантирует, что m≠0m\ne0.

График функции y=mxy=\dfrac{m}{x} переносится так, чтобы его центр
оказался в точке (x0,y0)(x_0,y_0). Поэтому прямыеx=x0,y=y0x=x_0,
\qquad
y=y_0являются соответственно вертикальной и горизонтальной асимптотами.
Область определения и множество значений имеют видD(f)=R∖{x0},E(f)=R∖{y0}D(f)=\mathbb R\setminus\{x_0\},
\qquad
E(f)=\mathbb R\setminus\{y_0\}
Рассмотрим функцию из условия. Для неёa=3,b=2,c=2,d=−3a=3,
\qquad b=2,
\qquad c=2,
\qquad d=-3поэтомуx0=32,y0=32,m=134x_0=\dfrac32,
\qquad
y_0=\dfrac32,
\qquad
m=\dfrac{13}{4}Таким образом,3x+22x−3=32+134⋅1x−32\dfrac{3x+2}{2x-3}
=\dfrac32+\dfrac{13}{4}\cdot\dfrac1{x-\frac32}Асимптоты имеют уравнения x=32x=\dfrac32 и y=32y=\dfrac32, а центр
гиперболы равен (32,32)\left(\dfrac32,\dfrac32\right).
Найдём пересечения с осями:y=0⟹3x+2=0⟹x=−23,x=0⟹y=−23\begin{aligned}
y=0&\quad\Longrightarrow\quad 3x+2=0
\quad\Longrightarrow\quad x=-\dfrac23,\\
x=0&\quad\Longrightarrow\quad y=-\dfrac23
\end{aligned}Кроме того,y(1)=−5,y(2)=8y(1)=-5,
\qquad
y(2)=8Эти точки расположены симметрично относительно центра гиперболы.
Обе ветви убывают: выражение 1(x−32)\frac{1}{(x-\frac{3}{2})} убывает на каждом из промежутков определения, а множитель 134\frac{13}{4} положителен.

Построение графика

Проводим асимптоты, отмечаем пересечения с осями
(−23,0)\left(-\dfrac23,0\right), (0,−23)\left(0,-\dfrac23\right) и точки
(1,−5)(1,-5), (2,8)(2,8). Через них проводим две ветви гиперболы.график к задаче Демидовича № 251
Для любой невырожденной дробно-линейной функции построение выполняется
по той же схеме: выделяются центр и две асимптоты, после чего отмечаются
несколько опорных точек.
Демидович № 251 — решение | Высшая математика — Профиматика