Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 251

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 251

Построить график дробно-линейной функцииy=ax+bcx+d(ad−bc≠0, c≠0)y=\dfrac{ax+b}{cx+d}
\qquad
(ad-bc\ne0,\ c\ne0)приведя её к видуy=y0+mx−x0y=y_0+\dfrac{m}{x-x_0}Рассмотреть примерy=3x+22x−3y=\dfrac{3x+2}{2x-3}

Построение

Идея

Преобразуем общую дробно-линейную функцию. Выделяя постоянную часть,
получаемax+bcx+d=ac+bc−adc(cx+d)==ac+bc−adc2⋅1x+dc\begin{aligned}
\dfrac{ax+b}{cx+d}
&=\dfrac ac+\dfrac{bc-ad}{c(cx+d)}=\\
&=\dfrac ac+\dfrac{bc-ad}{c^2}\cdot
\dfrac1{x+\frac dc}
\end{aligned}Следовательно,x0=−dc,y0=ac,m=bc−adc2x_0=-\dfrac dc,
\qquad
y_0=\dfrac ac,
\qquad
m=\dfrac{bc-ad}{c^2}Условие ad−bc≠0ad-bc\ne0 гарантирует, что m≠0m\ne0.
  1. 1
    Идея. График функции y=mxy=\dfrac{m}{x} переносится так, чтобы его центр
    оказался в точке (x0,y0)(x_0,y_0). Поэтому прямыеx=x0,y=y0x=x_0,
    \qquad
    y=y_0    являются соответственно вертикальной и горизонтальной асимптотами.
    Область определения и множество значений имеют видD(f)=R∖{x0},E(f)=R∖{y0}D(f)=\mathbb R\setminus\{x_0\},
    \qquad
    E(f)=\mathbb R\setminus\{y_0\}
  2. 2
    Рассмотрим функцию из условия. Для неёa=3,b=2,c=2,d=−3a=3,
    \qquad b=2,
    \qquad c=2,
    \qquad d=-3    поэтомуx0=32,y0=32,m=134x_0=\dfrac32,
    \qquad
    y_0=\dfrac32,
    \qquad
    m=\dfrac{13}{4}    Таким образом,3x+22x−3=32+134⋅1x−32\dfrac{3x+2}{2x-3}
    =\dfrac32+\dfrac{13}{4}\cdot\dfrac1{x-\frac32}    Асимптоты имеют уравнения x=32x=\dfrac32 и y=32y=\dfrac32, а центр
    гиперболы равен (32,32)\left(\dfrac32,\dfrac32\right).
  3. 3
    Найдём пересечения с осями:y=0⟹3x+2=0⟹x=−23,x=0⟹y=−23\begin{aligned}
    y=0&\quad\Longrightarrow\quad 3x+2=0
    \quad\Longrightarrow\quad x=-\dfrac23,\\
    x=0&\quad\Longrightarrow\quad y=-\dfrac23
    \end{aligned}    Кроме того,y(1)=−5,y(2)=8y(1)=-5,
    \qquad
    y(2)=8    Эти точки расположены симметрично относительно центра гиперболы.
    Производнаяy′=−13(2x−3)2<0y'=-\dfrac{13}{(2x-3)^2}<0показывает, что обе ветви убывают.
  4. 4

    Построение графика

    Проводим асимптоты, отмечаем пересечения с осями
    (−23,0)\left(-\dfrac23,0\right), (0,−23)\left(0,-\dfrac23\right) и точки
    (1,−5)(1,-5), (2,8)(2,8). Через них проводим две ветви гиперболы.график к задаче Демидовича № 251

Проверка

Для любой невырожденной дробно-линейной функции построение выполняется
по той же схеме: выделяются центр и две асимптоты, после чего отмечаются
несколько опорных точек.
Демидович № 251 — решение