Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 165

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить области существования следующих функций:

\text{а) }y=(2x)!;\qquad \text{б) }y=\log_2\log_3\log_4x;\qquad \text{в) }y=\sqrt[4]{\lg\operatorname{tg}x};

\text{г) }y=\sqrt{\sin2x}+\sqrt{\sin3x}\qquad(0\le x\le2\pi).

Решение

Рассмотрим функцию

y=(2x)!.

Понимая факториал в обычном смысле, число

2x

должно быть целым и неотрицательным:

2x=n,\qquad n=0,1,2,\ldots

D(y)=\left\{\frac{n}{2}:n=0,1,2,\ldots\right\}.

Функция

y=\log_2\log_3\log_4x

определена при условии

\log_3(\log_4x)>0.

Поскольку основания логарифмов больше единицы, находим

\log_4x>1,

откуда

x>4

D(y)=(4,+\infty).

Функция

y=\sqrt[4]{\lg\operatorname{tg}x}

определена при условии

\lg\operatorname{tg}x\geq0.

Так как десятичный логарифм возрастает, это равносильно

\operatorname{tg}x\geq1.

На каждой ветви тангенса получаем

\frac{\pi}{4}+\pi k\leq x<\frac{\pi}{2}+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.

D(y)=\bigcup_{k\in\mathbb Z}\left[\frac{\pi}{4}+\pi k,\,\frac{\pi}{2}+\pi k\right).

Функция

y=\sqrt{\sin2x}+\sqrt{\sin3x},\qquad 0\leq x\leq2\pi,

определена при условии одновременно

\sin2x\geq0,\qquad \sin3x\geq0.

На отрезке

[0,2\pi]

имеем

\sin2x\geq0\quad\Longleftrightarrow\quad x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\cup\left[\pi,\frac{3\pi}{2}\right]\cup\{2\pi\},

\sin3x\geq0\quad\Longleftrightarrow\quad x\in\left[0,\frac{\pi}{3}\right]\cup\left[\frac{2\pi}{3},\pi\right]\cup\left[\frac{4\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\right]\cup\{2\pi\}.

Пересекая эти множества, имеем

D(y)=\left[0,\frac{\pi}{3}\right]\cup\{\pi\}\cup\left[\frac{4\pi}{3},\frac{3\pi}{2}\right]\cup\{2\pi\}.