Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 165

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить области существования следующих функций:

Задача 165

а) y=(2x)!;б) y=log⁡2log⁡3log⁡4x;в) y=lg⁡tg⁡x4;\text{а) }y=(2x)!;\qquad \text{б) }y=\log_2\log_3\log_4x;\qquad \text{в) }y=\sqrt[4]{\lg\operatorname{tg}x};г) y=sin⁡2x+sin⁡3x(0≤x≤2π).\text{г) }y=\sqrt{\sin2x}+\sqrt{\sin3x}\qquad(0\le x\le2\pi).

Решение

  1. 1

    Пункт а)

    Рассмотрим функцию y=(2x)!.y=(2x)!. Понимая факториал в обычном смысле, число 2x2x должно быть целым и неотрицательным: 2x=n,n=0,1,2,…2x=n,\qquad n=0,1,2,\ldots D(y)={n2:n=0,1,2,…}.\boxed{D(y)=\left\{\frac{n}{2}:n=0,1,2,\ldots\right\}}.
  2. 2

    Пункт б)

    Функция y=log⁡2log⁡3log⁡4xy=\log_2\log_3\log_4x определена при условии log⁡3(log⁡4x)>0.\log_3(\log_4x)>0. Поскольку основания логарифмов больше единицы, находим log⁡4x>1,\log_4x>1, откуда x>4x>4. D(y)=(4,+∞).\boxed{D(y)=(4,+\infty)}.
  3. 3

    Пункт в)

    Функция y=lg⁡tg⁡x4y=\sqrt[4]{\lg\operatorname{tg}x} определена при условии lg⁡tg⁡x≥0.\lg\operatorname{tg}x\geq0. Так как десятичный логарифм возрастает, это равносильно tg⁡x≥1.\operatorname{tg}x\geq1. На каждой ветви тангенса получаем π4+πk≤x<π2+πk,k∈Z.\frac{\pi}{4}+\pi k\leq x<\frac{\pi}{2}+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z. D(y)=⋃k∈Z[π4+πk, π2+πk).\boxed{D(y)=\bigcup_{k\in\mathbb Z}\left[\frac{\pi}{4}+\pi k,\,\frac{\pi}{2}+\pi k\right)}.
  4. 4

    Пункт г)

    Функция y=sin⁡2x+sin⁡3x,0≤x≤2π,y=\sqrt{\sin2x}+\sqrt{\sin3x},\qquad 0\leq x\leq2\pi, определена при условии одновременно sin⁡2x≥0,sin⁡3x≥0.\sin2x\geq0,\qquad \sin3x\geq0.

Проверка

На отрезке [0,2π][0,2\pi] имеем sin⁡2x≥0⟺x∈[0,π2]∪[π,3π2]∪{2π},\sin2x\geq0\quad\Longleftrightarrow\quad x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\cup\left[\pi,\frac{3\pi}{2}\right]\cup\{2\pi\}, а sin⁡3x≥0⟺x∈[0,π3]∪[2π3,π]∪[4π3,5π3]∪{2π}.\sin3x\geq0\quad\Longleftrightarrow\quad x\in\left[0,\frac{\pi}{3}\right]\cup\left[\frac{2\pi}{3},\pi\right]\cup\left[\frac{4\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\right]\cup\{2\pi\}. Пересекая эти множества, имеем D(y)=[0,π3]∪{π}∪[4π3,3π2]∪{2π}.\boxed{D(y)=\left[0,\frac{\pi}{3}\right]\cup\{\pi\}\cup\left[\frac{4\pi}{3},\frac{3\pi}{2}\right]\cup\{2\pi\}}.