Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 160

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить области существования следующих функций:

Задача 160

y=arccos⁡(2sin⁡x).y=\arccos(2\sin x).

Решение

Идея

Функция y=arccos⁡(2sin⁡x)y=\arccos(2\sin x) определена при условии −1≤2sin⁡x≤1,-1\leq2\sin x\leq1, то есть ∣sin⁡x∣≤12.|\sin x|\leq\frac12. Это неравенство выполняется на промежутках kπ−π6≤x≤kπ+π6,k∈Z.k\pi-\frac{\pi}{6}\leq x\leq k\pi+\frac{\pi}{6},\qquad k\in\mathbb Z.
D(y)=⋃k∈Z[kπ−π6, kπ+π6].\boxed{D(y)=\bigcup_{k\in\mathbb Z}\left[k\pi-\frac{\pi}{6},\,k\pi+\frac{\pi}{6}\right]}.