Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 157

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить области существования следующих функций:

Задача 157

y=lg⁡(sin⁡πx).y=\lg\left(\sin\frac{\pi}{x}\right).

Решение

Идея

Функция y=lg⁡(sin⁡πx)y=\lg\left(\sin\frac{\pi}{x}\right) определена при условии sin⁡πx>0.\sin\frac{\pi}{x}>0. Положим t=1xt=\frac{1}{x}. Тогда условие принимает вид sin⁡πt>0\sin\pi t>0, то есть t∈(2k,2k+1),k∈Z.t\in(2k,2k+1),\qquad k\in\mathbb Z.
При k=0k=0 находим x>1x>1. Для положительных kk получаем x∈(12k+1,12k),k=1,2,…,x\in\left(\frac{1}{2k+1},\frac{1}{2k}\right),\qquad k=1,2,\ldots, а для отрицательных значений kk x∈(−12k−1,−12k),k=1,2,…x\in\left(-\frac{1}{2k-1},-\frac{1}{2k}\right),\qquad k=1,2,\ldots

Проверка

D(y)=(1,+∞)∪⋃k=1∞(12k+1,12k)∪⋃k=1∞(−12k−1,−12k).\boxed{
D(y)=(1,+\infty)
\cup\bigcup_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2k+1},\frac{1}{2k}\right)
\cup\bigcup_{k=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{2k-1},-\frac{1}{2k}\right)
}.
Демидович № 157 — решение