Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 159

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить области существования следующих функций:

Задача 159

y=arcsin⁡2x1+x.y=\arcsin\frac{2x}{1+x}.

Решение

Идея

Функция y=arcsin⁡2x1+xy=\arcsin\frac{2x}{1+x} определена при условии ∣2x1+x∣≤1.\left|\frac{2x}{1+x}\right|\leq1. Это неравенство равносильно 4x2≤(1+x)2,4x^2\leq(1+x)^2, то есть 3x2−2x−1≤0.3x^2-2x-1\leq0. Разложим на множители: (3x+1)(x−1)≤0.(3x+1)(x-1)\leq0.
−13≤x≤1.-\frac13\leq x\leq1. Значение x=−1x=-1, при котором знаменатель обращается в нуль, в найденный промежуток не входит.

Проверка

D(y)=[−13,1].\boxed{D(y)=\left[-\frac13,1\right]}.
Демидович № 159 — решение | Высшая математика — Профиматика