Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 195

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 195

Найтиφ(x)=f(x+h)−f(x)h,\varphi(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}h,если:а) f(x)=ax+b;б) f(x)=x2;в) f(x)=ax.\text{а) }f(x)=ax+b;\qquad \text{б) }f(x)=x^2;\qquad \text{в) }f(x)=a^x.

Решение

Идея

По определению φ(x)=f(x+h)−f(x)h,h≠0.\varphi(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}h,\qquad h\neq0.
  1. 1

    Пункт а)

    Пусть f(x)=ax+bf(x)=ax+b.
  2. 2
    Сначала найдем f(x+h)=a(x+h)+b=ax+ah+b.f(x+h)=a(x+h)+b=ax+ah+b.

    f(x+h)−f(x)=(ax+ah+b)−(ax+b)=ah.f(x+h)-f(x)=(ax+ah+b)-(ax+b)=ah.

    φ(x)=ahh=a.\varphi(x)=\frac{ah}{h}=a.φ(x)=a.\boxed{\varphi(x)=a}.
  3. 3

    Пункт б)

    Пусть f(x)=x2f(x)=x^2.

    Имеем f(x+h)=(x+h)2f(x+h)=(x+h)^2. Раскрываем квадрат: f(x+h)=x2+2xh+h2.f(x+h)=x^2+2xh+h^2.

    f(x+h)−f(x)=x2+2xh+h2−x2=2xh+h2.f(x+h)-f(x)=x^2+2xh+h^2-x^2=2xh+h^2.

    Выносим hh: 2xh+h2=h(2x+h).2xh+h^2=h(2x+h).

    φ(x)=h(2x+h)h=2x+h.\varphi(x)=\frac{h(2x+h)}h=2x+h. φ(x)=2x+h.\boxed{\varphi(x)=2x+h}.
  4. 4

    Пункт в)

    Пусть f(x)=axf(x)=a^x.

    Тогда f(x+h)=ax+hf(x+h)=a^{x+h}. Используем свойство степеней: ax+h=axah.a^{x+h}=a^xa^h.

    f(x+h)−f(x)=axah−ax.f(x+h)-f(x)=a^xa^h-a^x.

Проверка

Выносим axa^x: f(x+h)−f(x)=ax(ah−1).f(x+h)-f(x)=a^x(a^h-1). φ(x)=axah−1h.\boxed{
\varphi(x)=a^x\frac{a^h-1}{h}
}.
Демидович № 195 — решение | Высшая математика — Профиматика