Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 168

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить области существования и множество значений следующих функций:

Задача 168

y=arccos⁡2x1+x2.y=\arccos\frac{2x}{1+x^2}.

Решение

  1. 1
    Рассмотрим функцию y=arccos⁡2x1+x2.y=\arccos\frac{2x}{1+x^2}.
  2. 2
    Знаменатель 1+x21+x^2 положителен при любом xx.

    Кроме того, 1−2x1+x2=(x−1)21+x2≥0,1-\frac{2x}{1+x^2}=\frac{(x-1)^2}{1+x^2}\geq0, поэтому 2x1+x2≤1\frac{2x}{1+x^2}\leq1.

    Аналогично, 1+2x1+x2=(x+1)21+x2≥0,1+\frac{2x}{1+x^2}=\frac{(x+1)^2}{1+x^2}\geq0, откуда 2x1+x2≥−1\frac{2x}{1+x^2}\geq-1.

    −1≤2x1+x2≤1-1\leq\frac{2x}{1+x^2}\leq1 при всех x∈Rx\in\mathbb R, и потому D(y)=R.\boxed{D(y)=\mathbb R}.
  3. 3
    Покажем, что выражение 2x1+x2\frac{2x}{1+x^2} принимает все значения из отрезка [−1,1][-1,1]. Пусть t∈[−1,1]t\in[-1,1]. Рассмотрим уравнение 2x1+x2=t.\frac{2x}{1+x^2}=t. Оно равносильно tx2−2x+t=0.tx^2-2x+t=0. Если t≠0t\neq0, то дискриминант этого квадратного уравнения равен D=4−4t2=4(1−t2)≥0,D=4-4t^2=4(1-t^2)\geq0, так как ∣t∣≤1|t|\leq1. Значит, уравнение имеет действительное решение. При t=0t=0 находим x=0x=0. Итак, каждое значение t∈[−1,1]t\in[-1,1] достигается выражением 2x1+x2\dfrac{2x}{1+x^2}.

Проверка

Отсюда аргумент функции arccos⁡\arccos принимает все значения от −1-1 до 11. По определению функции arccos⁡\arccos ее значения при этом заполняют весь отрезок [0,π][0,\pi]. E(y)=[0,π].\boxed{E(y)=[0,\pi]}.