Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 172

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 172

В треугольнике ABCABC сторона AB=6AB=6 см, сторона AC=8AC=8 см и угол
BAC=xBAC=x. Выразить BC=aBC=a и площадь SS треугольника ABCABC как функции
переменной xx. Построить графики функций a=a(x)a=a(x) и S=S(x)S=S(x).
Построениеa(x)=100−96cos⁡x,S(x)=24sin⁡x,0<x<π\boxed{
a(x)=\sqrt{100-96\cos x},
\qquad
S(x)=24\sin x,
\qquad 0<x<\pi
}

Построение

Идея

Угол треугольника должен удовлетворять условию0<x<π0<x<\pi
  1. 1
    По теореме косинусов для стороны a=BCa=BC, лежащей напротив угла xx,
    получаемa2=a^2\mathrel{=}AB2+AC2−2 AB⋅ACcos⁡x=AB^2+AC^2-2\,AB\cdot AC\cos x\mathrel{=}62+82−2⋅6⋅8cos⁡x=6^2+8^2-2\cdot6\cdot8\cos x\mathrel{=}100−96cos⁡x100-96\cos xПоскольку длина стороны положительна,a(x)=100−96cos⁡xa(x)=\sqrt{100-96\cos x}Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними равнаS(x)=12 AB⋅ACsin⁡x=12⋅6⋅8sin⁡x=24sin⁡xS(x)=\frac12\,AB\cdot AC\sin x
    =\frac12\cdot6\cdot8\sin x
    =24\sin x
  2. 2

    Построение графика

    На промежутке (0,π)(0,\pi) функция cos⁡x\cos x убывает
    от 11 до −1-1. Поэтому выражение 100−96cos⁡x100-96\cos x, а вместе с ним и
    a(x)a(x), возрастает. Характерные значения:lim⁡x→0+a(x)=2,a(π2)=10,lim⁡x→π−a(x)=14\lim_{x\to0+}a(x)=2,
    \qquad
    a\left(\frac\pi2\right)=10,
    \qquad
    \lim_{x\to\pi-}a(x)=14    Крайние точки не входят в график: при x=0x=0 или x=πx=\pi треугольник
    вырождается.график к задаче Демидовича № 172график к задаче Демидовича № 172
  3. 3
    Функция S(x)=24sin⁡xS(x)=24\sin x положительна при 0<x<π0<x<\pi, возрастает до
    x=π2x=\dfrac\pi2, затем убывает. Её наибольшее значение равно 2424 см2^2.

Проверка

Ответ.a(x)=100−96cos⁡x,S(x)=24sin⁡x,0<x<π\boxed{
a(x)=\sqrt{100-96\cos x},
\qquad
S(x)=24\sin x,
\qquad 0<x<\pi
}
Демидович № 172 — решение и ответ