Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 166

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить области существования и множество значений следующих функций:

Задача 166

y=2+x−x2.y=\sqrt{2+x-x^2}.

Решение

Идея

Функция y=2+x−x2y=\sqrt{2+x-x^2} определена при условии 2+x−x2≥0.2+x-x^2\geq0. 2+x−x2=(2−x)(x+1),2+x-x^2=(2-x)(x+1), поэтому −1≤x≤2.-1\leq x\leq2. D(y)=[−1,2].\boxed{D(y)=[-1,2]}.
Чтобы найти множество значений, представим подкоренное выражение в виде:

2+x−x2=94−(x−12)2.2+x-x^2=\frac94-\left(x-\frac12\right)^2.

На отрезке [−1,2][-1,2] оно принимает значения от 00 до 94\frac94. 0≤y≤32.0\leq y\leq\frac32.

Проверка

Множество значений функции: E(y)=[0,32].\boxed{E(y)=\left[0,\frac32\right]}.
Демидович № 166 — решение