Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 170

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить области существования и множество значений следующих функций:

y=(-1)^x.

Решение

Для действительного значения

(-1)^x

показатель

x

должен быть рациональным числом

\frac pq

в несократимой записи с нечётным положительным знаменателем

q

. Только в этом случае у отрицательного числа существует действительный корень степени

q

. Итак,

D=\left\{\frac pq\in\mathbb Q:\gcd(|p|,q)=1,\quad q>0\ \text{нечётно}\right\}.

Если числитель

p

чётен,

(-1)^{\frac{p}{q}}=1

; если нечётен,

(-1)^{\frac{p}{q}}=-1

. Оба случая встречаются, поэтому множество значений равно

E=\{-1,1\}