Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 170

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить области существования и множество значений следующих функций:

Задача 170

y=(−1)x.y=(-1)^x.

Решение

Идея

Рассмотрим функцию y=(−1)x.y=(-1)^x. В действительных числах степень отрицательного числа определена для рациональных показателей x=pq,x=\frac{p}{q}, записанных в несократимом виде, если знаменатель qq нечетен.
Отсюда область существования функции имеет вид D(y)={pq∈Q: (p,q)=1, q нечетно}.\boxed{
D(y)=\left\{\frac{p}{q}\in\mathbb Q:\ (p,q)=1,\ q\ \text{нечетно}\right\}.
}

Проверка

Если pp четно, то (−1)p/q=1,(-1)^{p/q}=1, а если pp нечетно, то (−1)p/q=−1.(-1)^{p/q}=-1. Функция принимает только два значения: E(y)={−1,1}.\boxed{E(y)=\{-1,1\}}.
Демидович № 170 — решение