Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 175

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Функция

y=\operatorname{sgn}x

определяется следующим образом:

\operatorname{sgn}x=\begin{cases}-1,&\text{если }x<0,\\0,&\text{если }x=0,\\1,&\text{если }x>0\end{cases}

Построить график этой функции. Показать, что

|x|=x\operatorname{sgn}x

Построение

График состоит из двух горизонтальных лучей и одной отдельной точки:
при

x<0

значение равно

-1

, при

x>0

оно равно

1

, а при

x=0

получаем точку

(0,0)

Докажем равенство

|x|=x\operatorname{sgn}x

по определению знака числа.

• Если

x<0

, то

\operatorname{sgn}x=-1

, поэтому

x\operatorname{sgn}x=x(-1)=-x=|x|

• Если

x=0

, то

x\operatorname{sgn}x=0\cdot0=0=|0|

• Если

x>0

, то

\operatorname{sgn}x=1

, поэтому

x\operatorname{sgn}x=x=|x|

Равенство выполняется во всех возможных случаях.