Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 187

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Переменная xx пробегает интервал 0<x<10<x<1. Определить, какое множество пробегает переменная yy, если:

Задача 187

y=ctg⁡πx.y=\operatorname{ctg}\pi x.

Решение

Идея

y=ctg⁡πx,0<x<1.y=\operatorname{ctg}\pi x,\qquad 0<x<1. Умножая неравенство на π>0\pi>0, находим 0<πx<π0<\pi x<\pi. Итак, аргумент котангенса пробегает весь интервал (0,π)(0,\pi).
На промежутке 0<πx<π20<\pi x<\frac\pi2 котангенс принимает все положительные значения: ctg⁡πx:+∞⟶0.\operatorname{ctg}\pi x:\quad +\infty\longrightarrow0. При x=12x=\frac12 получаем ctg⁡π2=0.\operatorname{ctg}\frac\pi2=0. На промежутке π2<πx<π\frac\pi2<\pi x<\pi котангенс принимает все отрицательные значения: 0⟶−∞.0\longrightarrow-\infty.

Проверка

Функция принимает все вещественные значения: y∈R.\boxed{y\in\mathbb R}.
Демидович № 187 — решение