Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 199

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 199

Найти целую рациональную функцию третьей степени:f(x)=ax3+bx2+cx+d,f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,если f(−1)=0f(-1)=0, f(0)=2f(0)=2, f(1)=−3f(1)=-3, f(2)=5f(2)=5.

Решение

  1. 1
    Пусть f(x)=ax3+bx2+cx+d.f(x)=ax^3+bx^2+cx+d.
  2. 2
    Из условия f(0)=2f(0)=2 сразу находим d=2d=2.

    Подставляем остальные значения. Из f(−1)=0f(-1)=0 получаем −a+b−c+d=0.-a+b-c+d=0. Поскольку d=2d=2, то −a+b−c=−2.-a+b-c=-2.

    Из f(1)=−3f(1)=-3 имеем a+b+c+d=−3,a+b+c+d=-3, то есть a+b+c=−5.a+b+c=-5.

    Из f(2)=5f(2)=5 находим 8a+4b+2c+d=5.8a+4b+2c+d=5. Так как d=2d=2, то 8a+4b+2c=3.8a+4b+2c=3.

    Имеем систему {−a+b−c=−2,a+b+c=−5,8a+4b+2c=3.\begin{cases}
    -a+b-c=-2,\\
    a+b+c=-5,\\
    8a+4b+2c=3.
    \end{cases}    Сложим первые два уравнения: 2b=−7,2b=-7, откуда b=−72b=-\frac72.
  3. 3
    Из второго уравнения a−72+c=−5,a-\frac72+c=-5, следовательно, a+c=−32.a+c=-\frac32.

    Подставим b=−72b=-\dfrac72 в третье уравнение: 8a+4(−72)+2c=3.8a+4\left(-\frac72\right)+2c=3.

    Находим 8a−14+2c=3,8a+2c=17,4a+c=172.8a-14+2c=3,\quad 8a+2c=17,\quad 4a+c=\frac{17}{2}.

    Вычитаем a+c=−32a+c=-\frac32 из 4a+c=1724a+c=\frac{17}{2}: 3a=172+32=10,3a=\frac{17}{2}+\frac32=10, поэтому a=103.a=\frac{10}{3}. c=−32−103=−96−206=−296.c=-\frac32-\frac{10}{3}
    =
    -\frac9{6}-\frac{20}{6}
    =
    -\frac{29}{6}.

Проверка

f(x)=103x3−72x2−296x+2.\boxed{
f(x)=
\frac{10}{3}x^3
-\frac72x^2
-\frac{29}{6}x
+2
}.
Демидович № 199 — решение