Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 155

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить области существования следующих функций:

Задача 155

y=sin⁡(x).y=\sqrt{\sin(\sqrt{x})}.

Решение

Внутренний корень требует x≥0x\ge0. Положим t=xt=\sqrt x; тогда t≥0t\ge0. Для внешнего корня дополнительно нужно sin⁡t≥0\sin t\ge0, то есть
t∈[2πk,(2k+1)π],k=0,1,2,….t\in[2\pi k,(2k+1)\pi],\qquad k=0,1,2,\ldots.Возвращаясь к x=t2x=t^2, получаем область определенияD=⋃k=0∞[4π2k2,(2k+1)2π2].D=\bigcup_{k=0}^{\infty}[4\pi^2k^2,(2k+1)^2\pi^2].Оба конца каждого отрезка допустимы: внешний корень в них равен нулю.