Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 155

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить области существования следующих функций:

Задача 155

y=sin⁡(x).y=\sqrt{\sin(\sqrt{x})}.

Решение

Идея

Функция y=sin⁡(x)y=\sqrt{\sin(\sqrt{x})} определена, если x≥0x\geq0 и sin⁡(x)≥0.\sin(\sqrt{x})\geq0. Положим t=xt=\sqrt{x}. Тогда t≥0t\geq0, а условие sin⁡t≥0\sin t\geq0 выполняется при t∈[2πk,(2k+1)π],k=0,1,2,…t\in[2\pi k,(2k+1)\pi],\qquad k=0,1,2,\ldots Поскольку x=t2x=t^2, находим x∈[(2πk)2,((2k+1)π)2],k=0,1,2,…x\in[(2\pi k)^2,((2k+1)\pi)^2],\qquad k=0,1,2,\ldots
D(y)=⋃k=0∞[4π2k2,(2k+1)2π2].\boxed{D(y)=\bigcup_{k=0}^{\infty}\left[4\pi^2k^2,(2k+1)^2\pi^2\right]}.
Демидович № 155 — решение