Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 197

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 197

Найти целую линейную функциюf(x)=ax+b,f(x)=ax+b,если f(0)=−2f(0)=-2 и f(3)=5f(3)=5.

Чему равны f(1)f(1) и f(2)f(2) (линейная интерполяция)?

Решение

Идея

Пусть f(x)=ax+b.f(x)=ax+b. По условию f(0)=−2f(0)=-2. Подставляем x=0x=0: a⋅0+b=−2,a\cdot0+b=-2, откуда b=−2b=-2.
  1. 1
    Используем условие f(3)=5f(3)=5. Находим 3a+b=5.3a+b=5. Поскольку b=−2b=-2, то 3a−2=5,3a=7,a=73.3a-2=5,\qquad 3a=7,\qquad a=\frac73. f(x)=73x−2.f(x)=\frac73x-2.
  2. 2
    Теперь f(1)=73−2=73−63=13,f(1)=\frac73-2=\frac73-\frac63=\frac13, а f(2)=143−2=143−63=83.f(2)=\frac{14}{3}-2=\frac{14}{3}-\frac63=\frac83.

Проверка

f(x)=73x−2,f(1)=13,f(2)=83.\boxed{
f(x)=\frac73x-2,
\qquad
f(1)=\frac13,
\qquad
f(2)=\frac83
}.
Демидович № 197 — решение