Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 167

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить области существования и множество значений следующих функций:

Задача 167

y=lg⁡(1−2cos⁡x).y=\lg(1-2\cos x).

Решение

Идея

Функция y=lg⁡(1−2cos⁡x)y=\lg(1-2\cos x) определена при условии 1−2cos⁡x>0,1-2\cos x>0, то есть cos⁡x<12.\cos x<\frac12.
π3+2πk<x<5π3+2πk,k∈Z.\frac{\pi}{3}+2\pi k<x<\frac{5\pi}{3}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z. D(y)=⋃k∈Z(π3+2πk, 5π3+2πk).\boxed{D(y)=\bigcup_{k\in\mathbb Z}\left(\frac{\pi}{3}+2\pi k,\,\frac{5\pi}{3}+2\pi k\right)}.На области определения cos⁡x\cos x принимает значения от −1-1 до 12\frac12, причем значение 12\frac12 не входит. 0<1−2cos⁡x≤3.0<1-2\cos x\leq3. −∞<lg⁡(1−2cos⁡x)≤lg⁡3.-\infty<\lg(1-2\cos x)\leq\lg3.

Проверка

E(y)=(−∞,lg⁡3].\boxed{E(y)=(-\infty,\lg3]}.
Демидович № 167 — решение