Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 163

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить области существования следующих функций:

y=\operatorname{ctg}\pi x+\arccos(2^x).

Решение

Идея

Функция

y=\operatorname{ctg}\pi x+\arccos(2^x)

определена, когда одновременно выполняются условия

\sin\pi x\neq0,\qquad -1\leq2^x\leq1.

Первое условие означает

x\notin\mathbb Z

. Поскольку

2^x>0

, второе условие сводится к

2^x\leq1

, откуда

x\leq0.

Значение

x=0

исключается первым условием.

Проверка

\boxed{D(y)=(-\infty,0)\setminus\mathbb Z=\bigcup_{k=0}^{\infty}(-k-1,-k)}.