Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 181

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

На какое множество EyE_y отображает множество ExE_x функция y=f(x)y=f(x), если:

Задача 181

y=ctg⁡πx4,Ex={0<∣x∣≤1}.y=\operatorname{ctg}\frac{\pi x}{4},\qquad E_x=\{0<|x|\le1\}.

Решение

Идея

Условие 0<∣x∣≤10<|x|\leq1 равносильно −1≤x<0или0<x≤1.-1\leq x<0 \quad\text{или}\quad 0<x\leq1.
  1. 1
    Если 0<x≤10<x\leq1, то 0<πx4≤π4.0<\frac{\pi x}{4}\leq\frac\pi4. На этом промежутке котангенс убывает, причем ctg⁡π4=1,ctg⁡t→+∞при t→+0.\operatorname{ctg}\frac\pi4=1,
    \qquad
    \operatorname{ctg}t\to+\infty\quad\text{при }t\to+0.     1≤y<+∞.1\leq y<+\infty.
  2. 2
    Если −1≤x<0-1\leq x<0, то −π4≤πx4<0.-\frac\pi4\leq\frac{\pi x}{4}<0. Поскольку котангенс нечетен, ctg⁡(−t)=−ctg⁡t,\operatorname{ctg}(-t)=-\operatorname{ctg}t, находим −∞<y≤−1.-\infty<y\leq-1.

Проверка

Ey=(−∞,−1]∪[1,+∞).\boxed{
E_y=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)
}.
Демидович № 181 — решение