Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 188

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Переменная xx пробегает интервал 0<x<10<x<1. Определить, какое множество пробегает переменная yy, если:

Задача 188

y=x+[2x].y=x+[2x].

Решение

Идея

y=x+[2x],0<x<1,y=x+[2x],\qquad 0<x<1, где [2x][2x] обозначает целую часть числа 2x2x. Поскольку 0<x<10<x<1, 0<2x<20<2x<2.
  1. 1
    Рассмотрим два случая.
  2. 2
    Если 0<x<120<x<\dfrac12, то 0<2x<10<2x<1, значит, [2x]=0[2x]=0. Тогда y=xy=x. Поскольку 0<x<120<x<\frac12, находим 0<y<12.0<y<\frac12.
  3. 3
    Если 12≤x<1\dfrac12\leq x<1, то 1≤2x<21\leq2x<2, значит, [2x]=1[2x]=1. Отсюда y=x+1y=x+1. Так как 12≤x<1\frac12\leq x<1, то 32≤y<2.\frac32\leq y<2.

Проверка

y∈(0,12)∪[32,2).\boxed{
y\in\left(0,\frac12\right)\cup\left[\frac32,2\right)
}.
Демидович № 188 — решение