Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 189

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 189

Найти f(0),f(1),f(2),f(3),f(4)f(0),f(1),f(2),f(3),f(4), еслиf(x)=x4−6x3+11x2−6x.f(x)=x^4-6x^3+11x^2-6x.

Решение

Идея

f(x)=x4−6x3+11x2−6x.f(x)=x^4-6x^3+11x^2-6x. Разложим многочлен на множители: f(x)=x(x3−6x2+11x−6).f(x)=x(x^3-6x^2+11x-6). Рассмотрим кубический многочлен x3−6x2+11x−6x^3-6x^2+11x-6.
Проверим, что x=1x=1 является его корнем: 13−6⋅12+11⋅1−6=1−6+11−6=0.1^3-6\cdot1^2+11\cdot1-6=1-6+11-6=0. Отсюда многочлен делится на x−1x-1. Выполнив деление, находим x3−6x2+11x−6=(x−1)(x2−5x+6).x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6).

Квадратный трехчлен также легко раскладывается: x2−5x+6=(x−2)(x−3).x^2-5x+6=(x-2)(x-3).

f(x)=x(x−1)(x−2)(x−3).f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3).

Подставляем заданные значения: f(0)=0,f(1)=0,f(2)=0,f(3)=0,f(0)=0,\qquad f(1)=0,\qquad f(2)=0,\qquad f(3)=0, а f(4)=4⋅3⋅2⋅1=24.f(4)=4\cdot3\cdot2\cdot1=24.

Проверка

f(0)=0,f(1)=0,f(2)=0,f(3)=0,f(4)=24.\boxed{
f(0)=0,\quad
f(1)=0,\quad
f(2)=0,\quad
f(3)=0,\quad
f(4)=24
}.
Демидович № 189 — решение