Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 161

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить области существования следующих функций:

Задача 161

y=lg⁡[cos⁡(lg⁡x)].y=\lg[\cos(\lg x)].

Решение

Идея

Функция y=lg⁡[cos⁡(lg⁡x)]y=\lg[\cos(\lg x)] определена при условии сначала, чтобы x>0x>0, а затем cos⁡(lg⁡x)>0.\cos(\lg x)>0. Неравенство cos⁡t>0\cos t>0 выполняется при −π2+2πk<t<π2+2πk,k∈Z.-\frac{\pi}{2}+2\pi k<t<\frac{\pi}{2}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.
Полагая t=lg⁡xt=\lg x, находим −π2+2πk<lg⁡x<π2+2πk.-\frac{\pi}{2}+2\pi k<\lg x<\frac{\pi}{2}+2\pi k. Поскольку функция 10t10^t возрастает, 10−π/2+2πk<x<10π/2+2πk.10^{-\pi/2+2\pi k}<x<10^{\pi/2+2\pi k}.

Проверка

D(y)=⋃k∈Z(10−π/2+2πk, 10π/2+2πk).\boxed{D(y)=\bigcup_{k\in\mathbb Z}
\left(10^{-\pi/2+2\pi k},\,10^{\pi/2+2\pi k}\right)}.
Демидович № 161 — решение