Раздел I. Введение в анализ — § 3. Понятие функции

Демидович — задача 196

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 196

Пустьf(x)=ax2+bx+c.f(x)=ax^2+bx+c.Показать, чтоf(x+3)−3f(x+2)+3f(x+1)−f(x)≡0.f(x+3)-3f(x+2)+3f(x+1)-f(x)\equiv0.

Доказательство

  1. 1
    f(x)=ax2+bx+c.f(x)=ax^2+bx+c.

    Вычислим каждое выражение отдельно.
  2. 2
    Сначала f(x+3)=a(x+3)2+b(x+3)+c.f(x+3)=a(x+3)^2+b(x+3)+c. Раскрываем квадрат: (x+3)2=x2+6x+9(x+3)^2=x^2+6x+9. f(x+3)=ax2+6ax+9a+bx+3b+c.f(x+3)=ax^2+6ax+9a+bx+3b+c.
  3. 3
    Далее f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c.f(x+2)=a(x+2)^2+b(x+2)+c. Поскольку (x+2)2=x2+4x+4(x+2)^2=x^2+4x+4, то f(x+2)=ax2+4ax+4a+bx+2b+c.f(x+2)=ax^2+4ax+4a+bx+2b+c.

    −3f(x+2)=−3ax2−12ax−12a−3bx−6b−3c.-3f(x+2)=-3ax^2-12ax-12a-3bx-6b-3c.
  4. 4
    Теперь f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c.f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)+c. Раскрываем: f(x+1)=ax2+2ax+a+bx+b+c.f(x+1)=ax^2+2ax+a+bx+b+c. 3f(x+1)=3ax2+6ax+3a+3bx+3b+3c.3f(x+1)=3ax^2+6ax+3a+3bx+3b+3c.

    Наконец, −f(x)=−ax2−bx−c.-f(x)=-ax^2-bx-c.

    Складываем все четыре выражения:

    f(x+3)−3f(x+2)+3f(x+1)−f(x).f(x+3)-3f(x+2)+3f(x+1)-f(x). Коэффициент при x2x^2 равен a−3a+3a−a=0.a-3a+3a-a=0. Коэффициент при xx равен 6a+b−12a−3b+6a+3b−b=0.6a+b-12a-3b+6a+3b-b=0. Свободный член равен 9a+3b+c−12a−6b−3c+3a+3b+3c−c=0.9a+3b+c-12a-6b-3c+3a+3b+3c-c=0.

Проверка

f(x+3)−3f(x+2)+3f(x+1)−f(x)≡0.\boxed{
f(x+3)-3f(x+2)+3f(x+1)-f(x)\equiv0
}.

Что и требовалось доказать

Демидович № 196 — решение